历法中的数学：用边分数制作历法
本帖系轉帖，原帖作者：今日头条1 分数
我们来看一个分数的例子：
如果想让带分数中的分子变成1的形式，可以表示为：
2 恒星日与太阳日
我们把一个昼夜规定为1天（太阳日），是地球上某个地点太阳光线射入的角度两次相同的时间间隔，称为太阳日。1天人为规定划分为24小时，1小时60分钟，1分钟60秒。
我们把地球自转360°的时间称为1恒星日。
实际的1天（24个小时）的时间应该是地球自转一圈多一点，因为地球在自转的同时，地球公转在公转轨道上移动了360/365°，需要再转动这个角度（地球自转和公转都是自西向东）则会是相同的太阳光线射入角度，如下图：
如上图，E1P与S点在同一条直线上，太阳自转的同时公转到E2点，PE2平行于PE1时，地球完成了自转一周，是为一个恒星日，地球需要继续自转和公转，当E2PS三点在一条直线上时，就是一太阳日。
太阳自转一周为一个恒星日，只需23小时56分钟4秒（0.9972685），再经过3分56秒，转动一个360/365°的角度，地日中心连线再次与周期开始的经线重合，经历一日的时间周期。所以太阳日是一个昼夜 = 恒星日（地球自转周期）+地球一天的公转角度（0.986°）＝360.986°。
地球绕太阳一圈需要365天5小时48分46秒（合365.24219天（太阳日）），我们称之为一年。
地球绕太阳1圈，地球自转次数：
365.24219*360.986/360=366.24255
365.24219/0.9972685=366.24258
在长期的连续观测中发现，一年中太阳日的长短并不一样。
由于以下两个原因，太阳日在一年当中的长度会每天不停地改变。
首先，地球的轨道是一个椭圆而不是正圆，所以当地球接近太阳时速度会加快，到达近日点时的运动速度最快；远离时又会减慢，到达远日点时的速度最慢（参考开普勒行星运动定律）。
其次，因为地球自转轴的倾斜角度，使得太阳在黄道上运行的大圆对地球的天球赤道是倾斜的，当太阳在两个分点时，穿越赤道时会有一个角度的，所以投影在赤道上的运行速度小于平均速度；当太阳在至点时，他的运动方向是平行于赤道的，所以投影的运行速度高于平均的速度（参考回归年）。因此，太阳日在3月（26-27日）和9月（12-13日）是比在6月（18-19日）或12月（20-21日）短的。这些日期的长短变化是在分点、至点、远日点、和近日点之间逐渐变化的。
太阳日因为长短在一年在不断变化，不适合我们计时的需要，为了得到一个均匀适用的日常时间，提出了平太阳日的概念。
假想有一个均匀速度的天体在黄道上运动，这个假想的天体被称为“平太阳”。把这个平太阳连续两次通过同一子午线的时间称之为平太阳日（地球运转的总时间加以平均所得的“日”），把平太阳日86400分之一为一秒，就比原来精确多了。
3 儒略历、格里历
地球绕太阳一圈需要365天5小时48分46秒（合365.24219天（太阳日）），我们称之为一年（四季更替）。
为了方便，我们制订的历法中会人为规定一年的天数为整数365年，再通过一定的规律在某一年添加1天去平衡历法的时间与地球实际运转的时间。
罗马共和国独裁官儒略·恺撒（即盖乌斯·尤里乌斯·凯撒）采纳数学家兼天文学家索西琴尼的计算后，于公元前45年1月1日起执行取代旧罗马历法的儒略历（Julian calendar）。儒略历中，一年被划分为12个月，大小月交替；四年一闰，平年365日，闰年366日为在当年二月底增加一闰日，年平均长度为365.25日。
0.24219=24219/100000=1/4.12899
这样，人为规定每4年闰1天后，每年的误差是：0.25-0.24219=0.00781
过了1600年后，人为制订的历法与地球绕太阳的实际运转相差了12.496天。
0.00781*1600=12.496
1582年3月1日，格里高利颁发了改历命令，内容是：
一、1582年10月4日后的一天是10月15日，而不是10月5日，但星期序号仍然连续计算：10月4日是星期四，第二天10月15日是星期五。这样，就把从公元325年以来积累的老账一笔勾销了。
二、为避免以后再发生春分飘离的现象，改闰年方法为： 凡公元年数能被4整除的是闰年，但当公元年数后边是带两个“0”的“世纪年”时，必须能被400整除的年才是闰年。
格里高利历的历年平均长度为365日5时49分12秒，比回归年长26秒：
0.24219-0.24250 = -0.00031
虽然照此计算，过3000年左右仍存在1天的误差，但这样的精确度已经相当了不起了。
以儒略历为基础改善而来的格里历，即沿用至今的公历。
4 杰拉勒历和伊朗历
欧麦尔·赫亚姆于1074年主持修订了古波斯历，编制了《杰拉勒历表》，其精确度超过格雷高里历（但格里高利历计算闰年的方法更简单）。确定33年8闰，误差保持在每年相差0.00023天
伊朗历的置闰方式是每128年置入31个闰年。
下图就是用连分数置闰的方法：
5 朔望月与恒星月
朔望月是指月朔到月朔，或月望到月望，或新月到新月之间周期的长度，即平均日数为29天12小时44分2.86秒。这一周期是月亮绕地球旋转；地球绕太阳旋转，三者之间相对运动而形成的，它不是月亮绕地球旋转一周的实际时间。
月球的和自转和公转周期都是27天7小时43分11.559秒（27.32166天，同步自转），称为恒星月。
如果不考虑地球围绕太阳的转动，单纯计算月亮绕地球旋转一周的时间，那只是27天7小时43分11秒。那么，为什么一朔望月时间会是29天多呢？现在，以月的合朔日为起点加以说明：我们知道，月亮的合朔是太阳、月亮、地球三者正处于一条直线上，月亮居于太阳和地球中间背向地球，人们丝毫看不见月亮的时候。这时假设地球停止绕日公转，那么，月亮绕地球一周后再回到相对地球的这一位置时，就是27天7小时43分11秒。这一长度叫做“恒星月”。但是，在月亮围绕地球转动时，地球也在围绕太阳转动，当月亮行走27天多，又回到上月合朔时相对地球的那一位置时，月亮已不再居于太阳与地球的直线之间了，因地球的向前运动已使原来相对月亮、太阳的位置向前移动，脱离开太阳与地球的连线，形成了一段距离。月亮只能继续向前运动，走过这段距离，再达到太阳与地球新的连线的时候，才能再形成新的合朔，这段距离需要1～2日的时间，也就是所谓的一、二隐日。
如上图，在A点时，EPS三点成一线，地月系统围绕太阳旋转到B点时，B点的EP与A点的EP平行，即月球旋转了一周，是为一个恒星月。需要继续旋转到C点，当EPS再次三点成一线时，是为一个朔月。
那么，为什么把月亮绕地球转动的实际周期称为“恒星月”呢？这是由于在月亮绕地球转动过程中，途径28组恒星星座，作为月亮运行位置的记录，每组恒星各有名目，通称28宿（宫）。月亮每天运行一宿，近28天正好实际绕行地球一周，但如上所述，这时新月还不能出现，还要走完因地球公转而脱离太阳与地球连线的距离，因而，月亮有28显日，其后，还有1～2日的隐日。
6 阴阳历
公历是以地球自转相对于太阳的位置所确定的“日”做为历法基础的，在此基础上去确定年、月。而纯粹的阴历则是以月球围绕地球的公转先确定月，则确定一年的天数。
公历确定“日”、纯粹的阴历确定“朔望月”的概念后，然后需要确定年（地球绕太阳公转，完成四季交替）的概念。以平太阳连续两次通过春分点的时间间隔，即太阳中心自西向东沿黄道从春分点到春分点所经历的时间，又称为太阳年，也叫回归年（Tropical year）。回归年约为365又1/4 日 或 12又7/19朔望月，朔望月约为29又1/2 日。年长不是月长的整数倍，也不是日长的整数倍；月长也不是日长的整数倍。不同的文明，在协调年月日的时候，采用了不同的策略，也就形成了不同的历法。
中国旧历农历纪年中，有闰月的一年称为闰年。一般年份为12个月，354或355天，闰年则为13个月，383或384天。农历作为阴阳历的一种，每月的天数依照月亏而定，一年的时间以12个月为基准；为了合上地球围绕太阳运行周期即回归年，每隔2到4年，增加一个月，增加的这个月为闰月，因此农历的闰年为13个月。
农历没有第十三月的称谓，闰月按照历法规则，排放在从二月到十月的中间，过后重复同一个月，重复的这个月为闰月，如四月过后的闰月称为闰四月。
由于1回归年为12.368个朔望月，0.368=368/1000=46/125，即125个回归年的话正好余出46个朔望月，所以在一百二十五年中应设置四十六个闰年。但因为这样设闰太过复杂，经推算，7/19最接近0.368。故一般的，在19年里中设置7个闰月，有闰月的年份全年383天或384天。
为什么采取“十九年七闰”的方法呢？一个朔望月平均是29.5306日，一个回归年有12.368个朔望月，0.368小数部分的渐进分数是1/2 、1/3 、3/8 、4/11 、7/19 、46/125，即每二年加一个闰月，或每三年加一个闰月，或每八年加三个闰月……经过推算，十九年加七个闰月比较合适。因为十九个回归年=6939.6018日，而十九个农历年（加七个闰月后）共有235个朔望月，等于6939.6910日，这样二者就差不多了。
下图是采用连分数置闰的方法：
7 连分数与无理数
我们知道，无理数是指无法用分数表示的数，但是用上面所说的连分数却可以用来近似无理数，如：
根号2可以用27/19、根号3可以用19/11去近似。
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