蒲丰投针试验
本帖最后由 maximefr 于 2019-4-27 15:47 编辑百度百科：
https://baike.baidu.com/item/蒲丰投针问题/10876943
http://blog.sina.com.cn/s/blog_5c4e75950100bny2.html
在1777年出版的《或然性算术实验》一书中，蒲丰(Buffon)提出的一种计算圆周率π的方法——随机投针法，即著名的蒲丰投针问题。
这个实验方法的操作很简单：
1)取一张白纸，在上面画上许多条间距为d的平行线；
2) 取一根长度为l（l<d）的针，随机地向画有平行直线的纸上掷n次，观察针与直线相交的次数，记为m；
3）计算针与直线相交的概率
由分析知针与平行线相交的充要条件是
其中
建立直角坐标系 ,上述条件在坐标系下将是曲线所围成的曲边梯形区域，见图l（2）．
由几何概率知
4）经统计实验估计出概率
由(*)式即
这样反复地投多次，数数针与任意平行线相交的次数，于是就可以得到 π 的近似值。因此蒲丰个人证明了针与任意平行线相交的概率为 p = 2l/πd 。利用这一公式，可以用概率方法得到圆周率的近似值。在一次实验中，他选取 l = d/2 ，然后投针2212次，其中针与平行线相交704次，这样求得圆周率的近似值为 2212/704 = 3.142。当实验中投的次数相当多时，就可以得到 π 的更精确的值。
下面是一些资料：
1850年，一位叫沃尔夫的人在投掷5000多次后，得到 π 的近似值为3.1596。1901年，意大利数学家拉兹瑞尼作了3408次投针，给出π的值为3．1415929——准确到小数后6位．不过，不管拉兹瑞尼是否实际上投过针，他的实验还是受到了美国犹他州奥格登的国立韦伯大学的L•巴杰的质疑．通过几何、微积分、概率等广泛的范围和渠道发现π，这是着实令人惊讶的！
不过，蒲丰实验的重要性并非是为了求得比其它方法更精确的 π 值。蒲丰投针问题的重要性在于它是第一个用几何形式表达概率问题的例子，他首次使用随机实验处理确定性数学问题，为概率论的发展起到一定的推动作用。计算 π 的这一方法，不但因其新颖，奇妙而让人叫绝，而且它开创了使用随机数处理确定性数学问题的先河，是用偶然性方法去解决确定性计算的前导。
在用概率方法计算 π 值中还要提到的是：R•查特在1904年发现，两个随意写出的数中，互素的概率为6／2π。1995年4月英国《自然》杂志刊登文章，介绍英国伯明翰市阿斯顿大学计算机科学与应用数学系的罗伯特•马修斯，如何利用夜空中亮星的分布来计算圆周率。马修斯从100颗最亮的星星中随意选取一对又一对进行分析，计算它们位置之间的角距。他检查了100万对因子，据此求得 π 的值约为3.12772。这个值与真值相对误差不超过5％。
像投针实验一样，用通过概率实验所求的概率来估计我们感兴趣的一个量，这样的方法称为蒙特卡罗方法（Monte Carlo method）。蒙特卡罗方法是在第二次世界大战期间随着计算机的诞生而兴起和发展起来的。这种方法在应用物理、原子能、固体物理、化学、生态学、社会学以及经济行为等领域中得到广泛利用。
此外，随便说出3个正数，以这3个正数为边长可以围成一个钝角三角形的概率P也与π有关。
值得注意的是这里采用的方法：设计一个适当的试验，它的概率与我们感兴趣的一个量（如π）有关，然后利用试验结果来估计这个量，随着计算机等现代技术的发展，这一方法已经发展为具有广泛应用性的蒙特卡罗方法。
本帖最后由 maximefr 于 2019-4-27 16:07 编辑
http://www.matrix67.com/blog/archives/2494
数学学习真正悲哀的就是，记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。虽然严密的推导是必要的，直观理解往往是不准确的，但如果能悟出一个让定理一瞬间变得很显然的解释，这不但是一件很酷的事，而且对定理更透彻的理解和更熟练的运用也很有帮助。我惊奇地发现，国内的每一本高数课本上都严格地讲解了微积分基本定理的证明，但几乎没有任何一个课本上讲过积分等于函数下方的图形面积究竟是为什么。事实上，这几乎是显然的，但还是有不少人学完微积分后仍然没有意识到。每当谈到这个问题时，我更愿意首先提出一个非常有启发性的事实——圆的周长是2·pi·r，圆的面积就是pi·r^2，后者的导数正好就是前者。这个现象是很容易理解的，因为圆的半径每增加一点，面积增加的就是周长那么一圈，换句话说面积的变化就等于周长。类似地，如果你能找到一个函数g(x)，它的导数正好就是f(x)，那么当x每增加一点，g(x)就增加了一条小竖线段，显然g(x)就应当是f(x)下方的面积。看清了这一点之后，我们才能欣赏到微积分基本定理真正牛B的地方。原先大家都是用分割求极限的办法来求函数下方的面积，但Leibniz却把面积看作一个可变的整体，用一种办法“一下子”就把它求了出来。有趣的是，这种现在看来如此自然的神奇办法，一千多年来居然没有任何人想到。 数学中有很多直观上看很不可思议的东西。比如，神秘的常数pi就经常出现在一些貌似和它毫无关系的地方，其中最经典的例子莫过于Buffon投针实验。Buffon投针实验是说，假设地板上画着一组间距为1的平行线。把一根长度为1的针扔到地上，则这根针与地板上的平行线相交的概率为2/pi。很多概率论课本上都会用微积分计算可行范围的方法求解Buffon投针问题，计算过程显得相当麻烦。我一直觉得，这个问题一定有一个异常直观、一目了然的解释，不过我还从来没见到过，自己也没有想到过。今天，我偶然看到了这个网页，猛地一下恍然大悟。
期望值的一个最引人注目的性质就是，E(A+B)=E(A)+E(B)，不管A和B是不是独立的。想象一根长度为L的铁丝，不管它被弯成了什么形状，扔到地上后它与地板上的平行线的交点个数的期望值都是一样的，并且这个值是和L成正比的。这是因为，我们可以把一根弯铁丝看作很多很多小的直线段构成；而每个充分小的直线段与平行线交点个数的期望都是相同的，那么由期望值的线性关系，整个弯铁丝与平行线交点数的期望就是c·L，其中c是某个固定的系数。为了求出这个系数是多少，我们只需要考虑一些特殊的情况。注意到，把一根长度为pi的铁丝弯成一个直径为1的圆，则把它扔到地上之后，它与这组平行线总有两个交点。这就是说，pi的c倍就等于2，即c等于2/pi。自然，一根单位长度的针与平行线的交点个数的期望值就是2/pi；而由于这根针与平行线要么没有交点，要么就只有一个交点，因此这个数值就相当于是针与平行线相交的概率了。
Update 1: 有人问到了关于圆的周长与面积关系的普适性问题。当边长增加时，正方形的面积变化应该是两个边长，而不是整个周长——边长增长的过程是线段的其中一个端点的移动过程，不是两个端点同时移动或者与中心的距离增加的过程。因此，正方形的面积x^2和两倍边长之间就有导数关系。这对于等边三角形又不再适用了，是因为等边三角形的面积变化不直接等于一个边长——由于边长增加的方向与面积扩展的方向并不垂直，这个面积变化应该缓于一个边长的扩张，具体地说应该等于√3/2个边长。
Update 2: 网友Wei分享了一个非常不错的网页供大家延伸阅读。他自己写了一篇介绍Buffon投针实验与定宽曲线的日志，相当强大。
乔治-路易·勒克莱尔，布丰伯爵（Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon，1707年9月7日－1788年4月16日）
又译蒲丰、比丰，法国博物学家、数学家、生物学家、启蒙时代著名作家。
本帖最后由 maximefr 于 2019-4-27 16:10 编辑
http://blog.sina.com.cn/s/blog_4dd6d4750102wctn.html
“蒙特卡洛方法是二十世纪40年代中期由S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼提出的一类随机模拟方法的总称，其名称来源于摩洛哥一个著名赌场，可以用随机模拟的方法求解很多问题的数值解。著名的“蒲丰投针”就属于这类方法，通过向画有格子的纸上投针计算π值。”
（見2016年03月14日中国人工智能学会邀请CAAI副理事长马少平教授介紹的“人工智能的里程碑：从深蓝到AlphaGo”。）
这个方法，是大学时候我做微积分题目的时候，发现和概率关系很大。跑去问老师，才知道的。
后来，研究风水学时，猛然想起这个。
历来，史书中，音律、度量衡、历法，都是放在一起的，称为“律历志”。
天象，属于“五行志”。
补充内容 (2019-4-28 10:21):
http://www.fengshui-168.com/thread-155625-1-1.html?_dsign=3d7eeb50 本帖最后由 maximefr 于 2019-4-27 16:20 编辑
很多数学都和赌博有关系。我认识很多人，包括很多大学老师教授之类，经常去赌场玩（而且还特别迷信）。
很多人因为赌博，学习大量数学知识。
小赌怡情，大赌倾家。
反对赌博！
谢谢分享 记住了某个神奇而伟大的定理，看懂了其最严密的推导过程，但却始终没能直观地去理解它。
历来，史书中，音律、度量衡、历法，都是放在一起的，称为“律历志”。
天象，属于“五行志”。学习了。
听说有数字家组团去世界各大赌场，赢了很多钱。
页:
[1]