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发表于 2015-11-15 16:40:18
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增乘开方启蒙
增乘开平方法是北宋数学家贾宪发明的开方法，原收《释锁算书》一书。贾宪原作已佚，但他对数学的重要贡
献，被南宋数学家杨辉引用，被抄入《永乐大典》卷一万六千三百四十四，幸得以保存下来。
增乘开平方法，以商数乘下发递增求之。
商第一位。上商得数以乘下发为乘方。命上商除实。上商得数以乘下发入乘方。一退为廉，下法再退。
商第二位。商得数以乘下发为隅。命上商除实讫。以上商乘下法入隅，皆名曰廉。一退，下法再退，以求第三
位商数。
商第三位。用法如第二位求之。
以上增乘开平方法看不懂很正常，初二代数附录笔算开平方的原理与增乘开平方相同，就象除法，一看就会，
可作增乘开平方启蒙。
(a+b+c+d+…)^2 = a^2+2ab+b^2+2(a+b)c+c^2+2(a+b+c)d+d^2+…
例 283.4^2=80315.56
以小数点为节点，分别向前向后每两位为一节来分节
80315.56分节为 8'03'15.56
| | | | | 2 | | 8 | | 3 | . | 4 | 2 | | | | √ | 8 | 0 | 3 | 1 | 5 | . | 5 | 6 | 2 | | | | | 4 | | | | | | | | 4 | 8 | | | | 4 | 0 | 3 | | | | | | | | 8 | | | | 3 | 8 | 4 | | | | | | 5 | 6 | 3 | | | | 1 | 9 | 1 | 5 | | | | | | | 3 | | | | 1 | 6 | 8 | 9 | | | | 5 | 6 | 6 | 4 | | | | 2 | 2 | 6 | | 5 | 6 | | | | | | | | 2 | 2 | 6 | | 5 | 6 | | | | | | | | | | | | | 0 |
下面是我从网上摘录的增乘开立方法，是以实例讲解的白话文。
增乘开立方法是北宋数学家贾宪发明的开立方法，不同于贾宪的根据二项式展开的释锁开立方术。
布算五行，由上至下依次为上商、实、方、廉、下法。
置算筹1860867于实。
得第一位根数100，置上商。
以上商乘下法置廉
乘廉为方
从实除去得860867
以上商乘下法，入廉；乘廉加入方
复乘下法入廉
方退一位，廉退二位，下法退三位
估次商，得2；以之乘下法，得2入廉，乘廉得4入方=364000。
方36400乘第二上商2=728000
实860867-728000=132867
以次商乘下法，入廉=34000；乘廉加入方=432000
复乘下发入廉=36000
方退一位=43200，廉退二位=360，下法退三位=1
估商第三位，得3；
以上商乘下法，入廉=363；乘廉=1089加入方=44289
上商第三位数乘以方=3*44289=132867，从实132867减去，得零。
立方根=123
仍然看不懂也很正常，感觉象电脑程序语言。我还是以除法的形式来启蒙。
24^3=13824
(20+4)^3=20^3+3×20^2×4+3×20×4^2+4^3
以小数点为节点，分别向前向后每三位为一节来分节
13824分节为 13'824
| | | | | a | | | b | | | | | | 2 | | | 4 | | 3×20×20 | | 1200 | √ | 1 | 3 | 8 | 2 | 4 | | 3×20×b | b=4 | 240 | | | 8 | | | | | b×b | → | 16 | | | 5 | 8 | 2 | 4 | | | 1456 | | | 5 | 8 | 2 | 4 | | | | | | | | | 0 |
245^3=14706125
(240+5)^3=240^3+3×240^2×5+3×240×5^2+5^3
以小数点为节点，分别向前向后每三位为一节来分节
14706125 分节 14'706'125
| | | | | | | a | | | b | | | c | | 3×20×20 | | | 1200 | | | | 2 | | | 4 | | | 5 | | 3×20×b | b=4 | → | 240 | | √ | 1 | 4 | 7 | 0 | 6 | 1 | 2 | 5 | | b×b | | | 16 | | | | 8 | | | | | | | | | | | 1456 | | | | 6 | 7 | 0 | 6 | | | | | 3×240×240 | | | 172800 | | | | 5 | 8 | 2 | 4 | | | | | 3×240×c | c=5 | → | 3600 | | | | | 8 | 8 | 2 | 1 | 2 | 5 | | c×c | | | 25 | | | | | 8 | 8 | 2 | 1 | 2 | 5 | | | | | 176425 | | | | | | | | | | 0 | |
b估算：b<10<20,→b<6706/1200=5.6
b≈20/4,→b≈5.6*4/5=4.48
取b=4
c估算：c<<240,→c<≈882125/172800=5.1
取c=5
这里，240*240计算较繁，有待优化。后面如果开方不尽，还有245*245计算更繁琐。增乘开方就是为了简化这类计算。
| | | | | | | | | | a | | | b | | | c | | 方1 | 20×20 | | 400 | | ×3 | | 1200 | | | 2 | | | 4 | | | 5 | | 廉1 | 20×4 | → | 80 | | ×3 | | 240 | √ | 1 | 4 | 7 | 0 | 6 | 1 | 2 | 5 | | 隅1 | 4×4 | | 16 | | → | | 16 | | | 8 | | | | | | | | | | 576 | | | | 1456 | | | 6 | 7 | 0 | 6 | | | | | 方2 | 240×240 | | 57600 | | ×3 | | 172800 | | | 5 | 8 | 2 | 4 | | | | | 廉2 | 240×5 | → | 1200 | | ×3 | | 3600 | | | | 8 | 8 | 2 | 1 | 2 | 5 | | 隅2 | 5×5 | | 25 | | → | | 25 | | | | 8 | 8 | 2 | 1 | 2 | 5 | | | | | | | | 176425 | | | | | | | | | 0 |
下面是增乘开方的关键计算启蒙
400+2×80+16=576
576×100=57600
方2=方1+2×廉1+隅1
方3=方2+2×廉2+隅2
……
这是释锁开方的优化，简化了多位数平方的计算，对开立方帮助最大，是到增乘开方的过渡。
弄懂了上述计算，再看古人增乘开方的表述，结合其他现代人的理解，我们终于悟出了增乘开方的高明。
我回头再对网上摘录的增乘开立方法作注解，使表述更加明白。
=
布算五行，由上至下依次为上商、实、方、廉、下法。
置算筹1860867于实。
[注：以个位为起始点，每三位为一节，1,860,867,每节对应一位商数]
得第一位根数100，置上商。[注：第一位根数1，不是100]
以上商乘下法置廉，[1*1，000，000=1000000]
乘廉为方；[注：方=商*廉=1*1，000，000=1000000]
从实除去得860867；[注：从实减去方得860867；]
以上商乘下法，入廉；乘廉加入方；[注：上商乘廉加入方]
[此时，廉=1,000,000+1,000,000=2,000,000
方=1*2,000,000+1,000,000=3,000,000]
复乘下法入廉；[注：上商复乘下法入廉]
[此时，廉=2,000,000+1,000,000=3,000,000]
方退一位，廉退二位，下法退三位
估次商，得2；以之乘下法，得2入廉，乘廉得4入方=364000。
方36400乘第二上商2=728000
实860867-728000=132867
以次商乘下法，入廉=34000；乘廉加入方=432000
复乘下发入廉=36000
方退一位=43200，廉退二位=360，下法退三位=1
估商第三位，得3；
以上商乘下法，入廉=363；乘廉=1089加入方=44289
上商第三位数乘以方=3*44289=132867，从实132867减去，得零。
立方根=123
以上计算的一个关键数“下法”，初商时，下法=1,000,000；次商时，下法=1,000；第三商时，下法=1；
在实际计算中，下法可以都看着1，就看作这一节的个位，后面几节先不看，跟笔算开方一样。这样不仅简化了计算，而且更容易推广到小数，以及开方开不尽的情况。
增乘开方 之 开四次方
表格分六行，由上至下依次为商、实、方、上廉、下廉、隅。
把被开方数放在实，一列放一个数码，以个位为起始点，每四位分一节，如：2'2888'6641，将来每节对
应一位商数，从高位到低位依次为初商，次商，第三商……
算初商前，先在最高位节列令隅=1，方、上廉、下廉都=0，再算初商，
初商乘以隅加入下廉，初商乘以下廉入上廉，初商乘以上廉入方，初商乘以方从实减去，得新实。
初商乘以隅加入下廉，初商乘以下廉入上廉，初商乘以上廉入方，
初商乘以隅加入下廉，初商乘以下廉入上廉，
初商乘以隅加入下廉，
方退一位，上廉退二位，下廉退三位，隅退四位；
再算次商，
次商乘以隅加入下廉，次商乘以下廉入上廉，次商乘以上廉入方，次商乘以方从实减去，得新实。
次商乘以隅加入下廉，次商乘以下廉入上廉，次商乘以上廉入方，
次商乘以隅加入下廉，次商乘以下廉入上廉，
次商乘以隅加入下廉，
方退一位，上廉退二位，下廉退三位，隅退四位；
再算第三商，
第三商乘以隅加入下廉，第三商乘以下廉入上廉，第三商乘以上廉入方，第三商乘以方从实减去，如尽，则初商、次商、第三商排列即为所求。
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发表于 2015-9-26 15:19:35
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