月行九道

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求月行九道宿度知

凡月行所交：冬入阴历，夏入阳历，月行青道。冬至夏至后，青道半交在春分之宿，当黄道东。立冬立夏后，青道半交在立春之宿，当黄道东南。至所冲之宿亦如之。冬入阳历，夏入阴历，月行白道。冬至夏至后，白道半交在秋分之宿，当黄道西。立冬立夏后，白道半交在立秋之宿，当黄道西北。至所冲之宿亦如之。春入阳历，秋入阴历，月行硃道。春分秋分后，硃道半交在夏至之宿，当黄道南。立春立秋后，硃道半交在立夏之宿，当黄道西南。至所冲之宿亦如之。春入阴历，秋入阳历，月行黑道。春分秋分后，黑道半交在冬至之宿当黄道北。立春立秋后，黑道半交在立冬之宿，当黄道东北。至所冲之宿亦如之。四序离为八节，至阴阳之所交，皆与黄道相会，故月行有九道。各以所入初末限度及分秒，减一百一度，余以所入初末限度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。凡日以赤道内为阴，外为阳；月以黄道内为阴，外为阳。故月行正交，入夏至后宿度内为同名，入冬至后宿度内为异名。其在同名者，置月行与黄道泛差，九因八约之，为定差，半交后，正交前，以差减；正交后，半交前，以差加。此加减出入六度，正，如黄赤道相交同名之差，若较之渐异，则随交所在，迁变不同也。仍以正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。其中异名者，置月行与黄道泛差，七因八约之，为定差。半交后，以差加；正交后，半交前，以差减。此加减出入六度，异，如黄道赤道相交异名之差，较之渐同，则随交所迁变不常。仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差。前加者为减，减者为加。各加减黄道宿积度，为九道宿积度。以前宿九道积度减之，为其宿九道度及分。其分就近约为太半少。论春夏秋冬以四时日所在宿度为正。

求正交加时月离九道宿度主

以正交加时黄道日度及分，减一百一度，余以正交度及分乘之，半而退位为分，分满百为度，命为月道与黄道泛差。其在同名者，置月行与黄道泛差。九因八约之，为定差，以加；仍以正交度距秋分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差，以减，其在异名者，置月行与黄道泛差，七因八约之，为定差，以减；仍以正交度距春分度数，乘定差，如象限而一，所得为月道与赤道定差，以加。置正交加时黄道月度及分，以二差加减之，即为正交加时月离九道宿度及分。

求定朔望加时月所在度主

置定朔加时日躔黄道宿次，凡合朔加时，月行潜在日下，与太阳同度，是为加时月离宿次。各以弦、望度及分秒，加其所当弦、望加时月躔黄道宿度，满宿次去之，命如前，各得定朔、弦、望加时月所在黄道宿度及分秒。

求定朔弦望加时九道月度主

各以朔、弦、望加时月离黄道宿度及分秒，加前宿正交后黄道积度，为定朔、弦、望加时正交后黄道积度。如前求九道积度，以前宿九道积度减之，余为定朔、弦、望加时九道月离宿度及分秒。其合朔加时，若非正交，则日在黄道，月在九道，所入宿度，虽多少不同，考其两极，若应绳准。故云：月行潜在日下，与太阳同度，即为加时九道月度。其求晨昏夜半月度，并依前术。

——金史

对月亮运动的研究
　　我国古代的历法以月亮的圆缺作为记月的单位，很早就注意对月亮运动的观测和研究。中国古代对于日月食的预报也特别重视，所以对月行的研究更加认真。春秋末期的《古四分历》，对朔望月的长度（古称“朔策”）已经掌握得相当精密了，和真值相比较，大约三百多年差一日。隋代以前的历法，就一直以朔望月的长度来推算安排各月的历日。每月的第一天称“朔日”，意思是日月合朔将发生在初一这天。由于朔望月的长度比二九·五日稍大，所以，通常以这样的办法来进行调整：大月三十日，小月二十九日，大小月相间，相距大约十七个月安排一个连大月。
　　由于太阳在天球上的位置也在移动，所以一个朔望月并不等于月亮绕天一周。我国古代很早就能把这两种概念区分开来。《淮47南子·天文训》就记有日行一度，月行十三度又十九分之七，那月行一周天是二七·三二一九日，已经有了“恒星月”的概念（月亮从天球上某一固定位置运行一周又回到原来的位置所需的日数叫恒星月）。
　　地球在公转轨道上作椭圆运动，月亮在自己的运行轨道上也是这样，所以月亮的运动速度是作周期变化的。月亮过近地点的时候运动最快，过远地点的时候最慢。月亮从最快点运行一周又回到最快点所需的日数称作“近点月”。它和朔望月的长度是不等的，这就使得月亮圆缺一次所需的时间实际是不等的。所以，朔望月只是月相变化一周所需的平均日数。以朔望月长度推得的合朔时刻称作“平朔”。
　　战国时期的石申可能已经知道月亮运动的速度是有变化的，可惜记载简略。西汉刘向（约前77－前6）在《洪范五行传》中有关于月行九道的记载。东汉贾逵也认识到月行有快慢。他认为月行快慢是由于月道有远近造成的，并且知道，经过一近点月，近地点向前推进三度。以此推算，经九·一八年近地点才能回到原处，那一近点月是二七·五五○八一日。张衡也提倡用九道术。在古代文献中也记载了月行九道图，可见月行九道的说法在汉代是很流行的。九道术是我国早期对远地点变化的认识。按九道术安排月历，会有三大月相连和二小月相连。九道术虽然比较粗略，但是比不考虑月行有快慢的平朔法要精密。
　　刘洪在《乾象历》中第一次考虑到月行的快慢问题，他设每近点月中近地点前进三度四分（十九分是一度），由此可以求得近点月是二七·五五三三六日，和现今测得的值二七·五五四五五日相差不远。《乾象历》实测得一近点月中每日月亮实行度数，给出月亮每日实行速度超过或不及平均速度的“损益率”表。“损益率”逐次相加称“盈缩积”。求某日月亮的实行度数，以月亮平行数值加从近地点时起到前一日的盈缩积。《乾象历》求日月合朔时刻，使用了一次内插法。《乾象历》计算月行的快慢问题，主要是为了推算日月食发生的时刻和位置，所以它不但能求出定朔望时候的经度，而且能求出日月食发生的时刻。
　　古人为了研究交食的需要，对于“交点月”的长度也进行过许多研究工作。月亮从黄、白道的升（降）交点起运行一周又回到升（降）交点所需的日数称作交点月。祖冲之的《大明历》第一个推得交点月的数值是二七·二一二二三日，同现今测得的值比较，只差十万分之一。以后各家历法差不多都推算交点月的长度，都达到很高的精度。
　　张子信发现太阳运动有快慢以后，为定朔的进一步研究提供了良好的条件。从隋代的刘焯、张胄玄开始，在历法中推算定朔时刻的时候同时考虑月行和日行的不均匀性，这在中国历法史上是一个重大进步。刘焯在推算定朔的时候创立等间距二次差的内插法公式，在历法中引进了中国古代数学的先①一作“月日行十三度七十六分度之二十六”，即略小于十三度又十九分之七。进成就。
　　南北朝的何承天，首先在他于刘宋元嘉二十年（公元443年）制定的《元嘉历》中，提出安排历日使用定朔法，但是由于受到反对而终于未能实行。以后不断就改用定朔问题进行斗争。唐初的《戊寅历》曾一度使用定朔法，因为受到反对又停止使用，直到唐高宗麟德元年（公元664年）颁行的《麟德历》才又改用定朔。改用定朔法从何承天倡议开始，经过二百多年的争论和斗争，终于获得胜利。
　　唐代的僧一行对刘焯计算定朔的方法又作了发展，使用不等49间距二次差的内插法公式。元代的郭守敬更对刘焯等在推算定朔的时候日月在短时期里的运动速度是等加速的假设进行改进，认为日月的运动不是时间的一次函数，而是二次函数，在某一时间里日月多行的度数应该是时间的三次函数。他创立平立定三次差的内插法公式，把我国古代数学的光辉成就应用到历法的实际计算上，使我国古代的天文历法成就达到了新的高峰。

——中国古代科技成就