《太初历》与《三统历》探微 （转）

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遗世历术宝典《历术甲子篇》解读
在第6楼

易纬先生与七秩龄童先生关于历法的问答
在第12楼

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作者  七 秩 龄 童

一　　古代历法名词概念简释

　　1、“岁”与“年”的区别：《周礼·春官·大史》“正岁年以序事。”郑玄注：“中数曰岁，朔数曰年。中、朔大小不齐，正之以闰，若今时作历日矣。”从历法角度说，“岁”是就节令中的中气十二个“月”的长度说的，指两次“日南至”的时间长度，相当于现在的地球绕日运行的公转周期；而“年”则指的是以朔望月计算的十二个月或十三个月用于“授时”的时间长度。从天数说，一年有354、355、384、383天四种年型的区分；而历法“岁”，则是指十二个“中气月”的时间长度，是一个相对的固定值。司马迁《史 记·太史公自序》：“律居阴而治阳，历居阳而治阴，律历更相治，间不容飘忽。”语意为：历算首先是以月相的变化为准命名为年而约制“岁”的，在长于年的时间单元上，则又是以日光昼夜长短的变化一周成岁而约制“年”的。中华历法的特点以阴历的“年”与阳历的“岁”紧密联系又相互约制，容不得任何轻忽。这就是上面说的“中、朔大小不齐，正之以闰，若今时作历日矣”的意思。

　　2、朔望月和历月：古人观察到的朔望月的长度，以古四分历理而论，为29. 499/940 = 29.5308510(天)；以《太初历》用八十一分历理而论，为29. 43/81=29. 5308642 (天)。以上两“策”与朔望月的实测值29.530589平太阳日相比较，八十一分历浮差量略大于古四分历，但其达到期的精度都是很高的。以四分历而论，平均年浮仅0.0032537天。即年平均达1天误差的年数为：1÷0.0032537≈304（年）。祖冲之 (429～500) 曰：“古之六历，并同四分。四分之法，久则后天。以(日)食验之，经三百年，辄差一日。”古四分法的误差，早在距今1500年前，我们的老祖宗就认识到了。
　　古历法取一个朔望月的长度为算历的基本参数时，称之为“月策”。月策没有整数，但用为授时的历月却不能容留畸零数而只能有整“天”，因此历月分为月大和月小，月大30天，月小29天。请注意：一个月大和月小相间，两个月共只能安排30 + 29 = 59天，与古四分历相比，每一个月余的时间为940 分之29日分；与八十一分历相比，则一个月余的时间为81分之2.5日分。所以每过十五个月左右，必有两个月连着月大30天，以安排积足半天以上的余分日才行。故此中华古历除了月大和月小相间了外，还会有“连大月”的安排。

　　3、日分：古历日以下的时间单位。据《史 记·历书》载，有按太阳位置变化再略分为正北、正西、正南、正东的区分，合时辰制的子、酉、午、卯四个时辰。在历算朔望时，仅这样大略分法显然不够，如是又有下述的两种细分法：
　　古四分历以天940分计时，它的根据是76年含940个朔望月，一个朔望月的“月策”为29天另940分之499天，以日分940分方便于算历。同样的原因，《太初历》八十一分历法，则将一天再细分为81日分。它的根据则是一统岁1539年可以分为81个19年（1359 = 19章岁×81），又 “月策”为29天另81分之43天，以日分也方便于八十一分历推历。
　　古代历法用于二十四个节气推算时，是只将一天再细分为32日分。分法的根据则是一岁 365．1/4＝365．8／32(天)＝360．168／32 (天)。将小数32分制的360．168天，十二分之，一份为30．14天，二十四分之一份为15．7天，也方便于计算。

　　4、干支记日：用十天干甲、乙、丙、…壬、癸与十二地支子、丑、寅、…戌、亥顺序搭配组成“六十甲子”，用以记日至迟起于商代，可以用甲骨文的大量记载作证。至于从哪天起，就无脱无误延续不断，我初浅的认识是从发现有效的实物记载的日期以降，就可以之假定用干支记日是连续不断的了。因为我国古代历官素以守职称著。但也不排除例外。如有一位日本学者成家彻郎提出，周武王“甲子”伐纣克商，在殷实为乙巳日，“甲子”者，人定以为的“吉日”，云云。此说意在说明，干支记由乙巳而跳为甲子，有19日的中断？因此，在既大胆假定之后，不妨来个小心存疑，有错即纠。现在可以肯定的是，用干支连续不断的记日，有 “纸”上为证的时间始于鲁隐公三年鲁历“二月已巳日”，相当于儒略历元前722年3月5日或夏正正月二十二日，已达2700多年了。中国用干支记日，自成一独立的记日系统，不因政局或战乱而间断，因而保持了举世无双的，准确连续的史料记载。

　　5、干支记月：以十二地支与除闰月以外的十二个月相联结，称为干支记月。夏正岁前十一月为始，月序与地支的对应关系为：十一月称“子”月，十二月丑月，正月寅月，二月卯月，……九月戌月，十月亥月。因为北斗的斗柄旋转所指十二辰也用的是地支为名，北斗斗柄所指曰“建”，称为“月建”，故夏正的正月又称为“建寅”，二月为“建卯”，…。

　　6、干支记年：用干支记年一般认为从汉章帝元和二年（85年）用于正史为始。但在此以前，在民间，尤其是在家业世传的历算行业内部，用“岁星纪年”已逐渐过时，由观象授时进步到计算推历也迫切需要一种预示年名的方法，用干支记年的方法，早在前427年古四分《历历术甲子篇》和《殷历》成文实施前，至少在“畴人”间开始变相流行开了。不过，其时，或因为行业利益，或因为避免是非，用的是一组等同于六十甲子的密语或行话。例如用“焉逢摄提格”替代“甲寅” 等是。

　　7、历元和上元积年：古代历法中习惯上的一个理想时刻。通常是取甲子日夜半，是朔日又是冬至交节日那一天作为历法推算的起点日，此日称为“历元”日。由“历元”再往上推算，求出一个日、月经纬度相同，五大行星又相聚于同一方位的时刻，即“日月合璧，五星连珠”的时刻，称为“上元”。由上元到编制历法年份所积的年数，称为“积年”或“上元积年”。西汉《三统历》最早引用此概念，至南宋《统天历》则已废除。此法正式废除于元至元十八年（1281年）郭守敬《授时历》颁行时。

　　8、大余和小余：历法由“历元”甲子日夜半子时起始，用日干支甲子编号为0日，夜半子时为0分，用“积日法”往下推，至某月朔日或节令的日干支出现的余数，就是该日的日干支，历算家称此为“大余”；其小数中出现的余分，表示的是该日交朔或交节的具体时间，历家则称为“小余”。此法与习惯上怎么界定“昨天”与“今天”有联系，但也不能混为一谈。比如说，司马迁和刘歆历法用语中常常提到“夜半朔旦”，就是一个含混不清的概念；但不应妨碍由历术计算由“小余”得出的具体时间。不过，还得存疑一个问题：小余0分的起点，用现在的话说，当是午夜11时，还是午夜12时？若从习惯“子时”的起点算，以11时为宜；但古之人对这个时间，也只能是模糊概念，是从以见曙光为一日之始慢慢往前挪移成历法意义上的以夜半子时为起点的。故我认为在这个问题上，不能以现代观点强求古人，也就是宜于不过于较真，而应留一定的松动余地。

　　9、二十四节气：将太阳在黄道上的位置分为二十四个段落。因为周天一转按角度计算，可分为360度，从0度起，每隔15度，成为一个节气的段落，因即以节气开始的第一天，为其节气的名称。其中节气名称落在整十位度上的有十二个，为：雨水（黄经330度）、春分（黄经0度）、谷雨（30度，）、小满（60度，等）、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪、冬至（黄经270度）、大寒（300度），这十二个节气，特别地之称为“中气”，以与十二个月相对应。历法规定，以这十二个中气依次与夏正的正月、二月、…十二月相联系，也就是“中气”必在其当令的月份出现；如这个月没有当令的中气，则安排为闰月。闰月以其前月的月名加一“闰”或“后”字表示。二十四个节气完整确立于秦汉之际，因之以没有中气的月份安置闰月，公认为自《殷历》颁行已见其端倪。
　　二十四节气中“冬至、春分、夏至、秋分”指明是冬、春、夏、秋四季名目的。从历史文献记载来看，从冬至开始的三个月，也即是从建子之月开始的三个月，古书划为“春季”。而从春分开始的三个月，即称之为夏季了。以下类推。这一点，与我们今时大致以寒暑分四季的概念不大一致。似乎古人是从历法意义上的阳历，又从冬至开始往下，将一岁平分成为春夏秋冬四个季节的。

　　10、气距和节距：地球绕日公转轨道为一椭圆，太阳在其一焦点上。二十四节气既以太阳为中心平面的360度平分，则每一节气15度在运动轨道上的轨迹，就会有长有短，因此地球在每节气间的运行天数也会有多有少。古人认识尚不及此，只以平均计算：以12等分“年策”为“气距”，而以24等分之则为“节距”。要表明太阳的真实位置的方法称为“定气”，从清代《时宪历》才正式采用。

　　11、朔日、望日、晦日、胐：日月同时出没，新月即将出现之日为“朔日”。“逆”字首义为“迎”，因此，“朔”字可以理解为“迎月复明”。“望”日则可以理解为满月与落日东西相望之日。望，是月球与太阳黄经相差180度的时刻，时间总在月中十五、十六日，因之常以月之十五日为望日。晦日则是指月末的那一天。
　　又按《尚书·召诰》：“三月，唯丙午胐。”孔传：“明也，三日明生之名”。指新月开始生明(之日)。胐(ｆěｉ匪)，中古音读若“配”。古人从生活体验出以“胐日”为一个月的开始，到有历法意义定时概念的朔日，应当是经过了漫长的进化过程。先应有胐日的模糊认识，才可能进化到以朔日为月之始的定日定时概念，是可以“想当然”的。二个字并非同时出现于钟鼎，即是明证。所以以“月初三日为胐”，也当是后入之见，于理解上宜于就事论是。

　　12、章岁：古历法以冬至与月朔同日为章首第一岁，十九年（岁）为一章岁。这是一个很有文采的长于“年”的重要时间单位之一。说它很具“文采”，因为 1章岁的时间长度为十进制6939.75天，取此时间长度数除以十进制的“年策”365 . 25天，得数刚好是19（年／岁）；若取此时间长度除以 “月 策 ”29. 499／940天，则又刚好是2 3 5月。也就是说，古人非常精明地求到了19年235个朔望月，得以寻觅到“日月同步走，阴阳相谐和”的第一节奏。再进一步，从纯算术上说，以得数235而言，依现代算术，列成的算式为：6939.75÷ [（29×940＋499）÷940] = 235，在距今2500多年以前，在使用筹算工具的条件下，能得此精确的结果，足以能用此“章岁”名词的文采，展示我国古人的数学计算技术的已到达的水平。可惜，中文大辞海连“章岁”的条目都有没有。

　　13、蔀?岁：古六历依古四分历理计算的，以四章岁为一蔀岁。《汉书·律历志》记为 “府岁”， 意同。一蔀岁为76年（岁）计940朔望月，计 27759个整天。蔀岁是古四分历长于年（岁）的第二个重要的时间单位。蔀岁的时间长度与76回归年相较，积差为十进制0.593天 , 浮差大于半日，但与940个朔望月相较，则其积差只浮0.248日，其精确度就较高了。据《三统历》的说法，《太初历》取消了蔀岁“单位”，但仍以四章合为一“篇”。

　　14、纪岁和元岁：古四分历蔀岁以上的时间单位还有“纪岁”和“元岁”。一纪岁为二十蔀岁，计7 6×2 0 = 152 0年（岁）；一元岁为三纪岁，计1 5 2 0×3 = 4 5 6 0年（岁），或1 4 1 0 0朔望月，或 2 1 2 1 5 4 0日。以上三个得数用六十甲子除之，一元岁年干支历7 6轮，月干支历2 3 5轮，日干支历3 5 3 5 9轮，若从甲子年甲子月甲子日的（甲）子时作为“历元”入历，则经过了一元岁之后，又将再逢四甲子同时，所以古语有“一元复始”的成语。
　　刘歆《三统历》未用“纪岁”单位，而以81章岁为一统岁；一统岁为1  9×8 1 = 153 9年（岁）。一“统岁”比一“纪岁”多1 9岁。然后以三统岁为一元岁；一元岁为15 3 9×3 = 4 6 17岁。因此，《三统历》的“元岁”也比古四分历的“元岁”多57岁。

二   汉籍关于武帝太初制订《太初历》经过的记述

　　1 、《史 记·历 书 第 四》：
　　秦始皇时“亦因秦灭六国，兵戎极烦，又升至尊日浅，未暇遑也。而亦颇推五胜，而自以为获水德之瑞，更名河曰“德水”，而正以十月，色上黑。然历度闰余，未能睹其真也。”　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
　　○五胜：指金、木、水、火、土五行相生相克。河：黄河。上：尚。正以十月：以夏正十月为岁首。历度闰余，未睹其真：日月五星行度和闰余准确与否未作仔细考虑。

　　“汉兴，高祖曰：北畤待我而起。亦以为自获水德之瑞。虽明习历及张苍等，咸以为然。是时天下初定，方纲纪大基，高后女主，皆未遑，故袭秦正朔服色。”
　　○ 北畤：汉祀天神五帝中的黑帝的固定处所。 张苍：今河南原阳人。历算名家。秦时为御史，汉封北平侯，曾任丞相。有音律历法著作十六篇，后佚。年百余岁，卒于公元前152 年。　　袭秦正朔 ：止于太初颁历，仍袭秦制以十月为岁首，闰置于九月之后，称“后九月”。可能的解释是，秦楚与汉，都认定自已是上古帝王颛顼的后嗣，共祖一脉，故灭秦而能“仍袭秦制”。

　　“至孝文时，鲁人公孙臣以终始五德上书，言：“汉得土德，宜更元，改正朔 ，易服色。当有瑞，瑞黄龙现。事下臣相张苍，张苍亦学律历，以为非是，罢之。其后黄龙现成纪，张苍自黜，所欲论著不成。而新垣平以望气见，颇言正朔服色事，贵幸，后作乱，故孝文帝废不复问。”
　　○ 汉文帝：高祖的儿子，薄后所生。前180—前157年在位。事下：此事交…处理。 新垣平：赵地人，以诈骗作假被处死三族。  所欲论著不成：时张苍正在制订乐律历法，因自黜而中止论著。
　　“至今上即位，招致方士唐都，分其天部；而巴落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。因诏御史曰：乃者，有司言星度之未定也，广延宣问，未能詹也。盖闻昔者，黄帝合而不死，明察度验，定清浊，起五部，建气物分数。然盖尚矣。书缺乐驰，朕甚闵焉。朕唯不能循明也。紬绩日分，率应水德之胜。今日顺夏至，黄钟为宫，林钟为徵，太簇为商，南宫为羽，姑洗为角。自是以后，气复正，羽声复清，名复正变。以至子日当冬至，则阴阳离合之道行焉。十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。年名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”
　　○今上：指汉武帝刘彻，前140年至前87年在位，为景帝子而为文帝之孙。自16岁践帝位，时已在帝位36年。詹：第一用指瞻望，弄清楚；第二用指相逢。紬：(ｃｈōｕ抽)，抽理丝缕，寻绎义理。更以七年：太初改历前为元封七年，此指改元封七年为太初元年。以上第四段。“因诏御史曰”以下为录汉武帝诏诰。

　　以上是《史记·历书》中关于汉初以来至武帝太初元年制订历法大致经过的叙述。此记述后紧接着转“笔”附了一篇历理文字为《历术甲子篇》。全《篇》重心为历算数据。但也有涉及到三项值得注意的内容：
　　历数前的文字：《历术甲子篇》 太初元年，岁名“焉逢摄提格”，月名“毕聚”，日得甲子，夜半朔旦冬至。
　　历数中，每岁均附有太初以下五位帝王共计76年的年号：武帝太初4，天汉4，太始4，征和4，后元2；昭帝始元6，元凤6，元平1；宣帝本始4，地节4，元康4，神爵4，五凤4，甘露4，黄龙1；元帝初元5，永光5，建昭5，竟宁1；成帝建始4。
　　历数后结尾另似注释文字57字：“右历书：大余者，日也。小余者，月也。端蒙者，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格。干：丙名游。正北，冬至加子时；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。”

　　以上基本将太史公《书历》中，与太初制订历法中有关过程的文字都录下了。过细揣摩，太史公寄希望于后之“圣人君子”的，是不是希望和要求后人能从他蓄心安排的字里行间的矛盾，演绎出他深慝于心的真意！确实，司马迁在这篇短短的文字中，留给后人深入思索的问题太多了。拙作《遗世宝典〈历术甲子篇〉解读》一文中，曾论述过这份文献是由司马迁悉心原貌保存传世的一份古四分历历算典籍，并且运用了上面文段中的一些资料，证明《历术甲子篇》是太初制历前早已师承相传师门秘籍。此处则再从司马迁关于太初制订历法记载的“细微”深入，作一些发掘：

　　①、汉武帝《诏书》：“盖闻昔者，黄帝合而不死”。按孟康诠释：“黄帝作历，历终而复始，无穷已也，故曰不死。”一般均据此今译文为“曾经听说黄帝作历，由于符合天象运行，故尔能够持续地用为授时使用。”但据《汉书·律历志》应邵注：“言黄帝造历得仙”。臣瓒注：“黄帝圣德，与神灵合契，升龙登仙，故曰合而不死。”两种理解，见仁见智。司马迁引用此句，当然也可作两解。而体味太史公真意，在于揭示汉武改历用心，专一务于求道成仙。

　　②、武帝《诏书》接着说：“然盖尚矣。书缺乐驰，朕甚闵焉，朕唯未能循明也。”说的是——黄帝登仙的传说已很古老了。如今历数缺失，礼乐废驰，我很难过；这是我的过失啊。——武帝引咎自责，似乎无可指责了。实际这是句光冕堂皇的话。司马昭之心，路人皆知，他是在自咎存心不诚，不能像抛弃破旧的鞋子一样顺当地抛弃人间妻子享受，上登仙境。此句请结合下面引文《史 纪·孝武本纪第十二》看。

　　③、《诏书》接着说：“紬绩日分，率应水德之胜。…十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。”汉武帝喜不自禁的是：十一月甲子日朔旦冬至，契合于天纪的大好日子终于盼望降临了。底语是：朝思暮想成仙的大好机缘终于来临啦！
　　上三段文字参看下面《孝武帝本纪》，才可以有完整的答案。请详参引文。

　　④、《诏书》接着说：“十一月甲子冬至已詹 ，其更以七年为太初元年。年名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”请注意，这是司马迁引的汉武帝的《诏书》的文字。接着这句之后紧连着的是太史公引用的另一份典籍《历术甲子篇》。《历术甲子篇》开头就是：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”除了前用“年名”，后作“岁名”有一字不同外，两者联接密合无缝。《诏书》中年名、月名、日得三个词连起来说，为历元首年首月首日甲子半夜冬至的意思。其中“焉逢摄提格”一词不可按一般的当成“甲寅”来解释，只能作历元第一年来诠注，因为当太初之时，以六十甲子名年的方法并未公开。诏书中有一个小小的疏忽：既已用“年名焉逢摄提格”，不该再用“月名毕聚”。用词的人未注意到太初元年已将年首由岁前的十月移到夏正的正月来了。此时“毕聚”两字无论当岁的首月或正月讲，都不恰当。

　　⑤、《历术甲子篇》：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”是很值得玩味的一段文字：“历术”不是“历谱”，首指此文为推历通行数据，可以用为太初制历，也可通行于推前继后。“太初”也并不专指武帝年号“太初”，为专业术语，指的是作用为推历历元之岁，《汉书·律历志》用字为“泰初”。以下几句也是用行业语言表达的，则必须理解为：历元为甲寅岁历首月（正月）朔日夜半交朔冬至。从这几个字一句话，暴露出一个至关重要的消息，《历术甲子篇》既已断定不是为太初制订历法的专门文件，那也不是秦始皇统一中国之后编订的，因为秦正十月。以冬至月为历算首月且正好名之为“正月”的至少要再往前推才行。实际上此文是以前1567年为上元识年而以公无前427年天象为参照作为历元，进而研制出来的一份历算数据手册。前1567年和前 427年的岁用干支正好两年都是“甲寅”年，其时以周历为正宗，又正好是以冬至月（十一月）为岁首月。认准了这一点，《历术甲子篇》的一切问题都可迎刃而解。

　　⑥、司马迁既有《史记·历书》一篇，且止于太初制订历法，却没有留下《太初历》本文，已是令人莫解了？更奇怪的是，参加太初制历的两位主角之一的大中大夫公孙卿，和汉武帝从十八份草案中选中的《邓平历》作者邓平，其中《邓平历》用为《太初历》后好平其人还升官“太史丞”了，可是在司马迁笔下，两人的名姓提都不提。还有，由刘歆大书特书用为《太初历》的历法“八十一分历”术，更是讳莫如深；……。下面将引用的《孝武皇帝本纪》文字，暴露出的内情是：以方士公孙卿为首，原来利用了太初制订历法的国家要政活动，却干了一场“喊着万岁哄万岁”的政治游戏。

　　⑦、司马迁在《史纪·历书》中关于太初制历的过程只有下面几句话：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部；而巴落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。”唐都是司迁父亲司马谈的天文老师，是司马迁的前辈。负责“运算转历”的是来自民间的历算“畴人”落下闳。本来，就太初制订历法的根本目的而言，主要是修正老历执行过久因精度而产生的积差，按天象实际给予以修订，制订历法的主要任务也就完成了。落下闳很可能献出了用于《殷历》的师门秘籍《历术甲子篇》，据以移动一章，去日分705分，也就密近天象了。这就是上文中“然后日辰之度与夏正同”的要义。他老先生对公孙卿的活动，既不屑一顾，更不悄置评，似乎用的是视而不见的笔法。

　　⑧、《太初历》本法不存，用《历术甲子篇》以首岁移动到改历后的太初元年，用其数据于太初以下年份也基本合适。经与用刘歆总结太初历得出的《三统历》对照，太初以下七十六年间，日干支除一年之外，基本是一致的。这一有不同的年份为：《历术甲子篇》第六十位数据，附年号为汉元帝初元四年，历朔数为 48 . 931，即应为汉元帝初元三年十一月朔为辛亥931分交朔。而查历书，其年十一月初一日干支为壬子。因为这年十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒《儒略历》首年的元旦日，是中西历对照的起点日，又与用《三统历》推步(见表四与表五)为49 . 00,为壬子日，也相符合，不会有记载和计算上的误会或舛错。

　　⑨、司马迁没有忘记为后人留下破解千古之谜的钥匙。他在《史纪·历书》末尾，写下了几句费解的话，这几句话或为后人添上，或为失落致残，都不影响本文的结论，但不妨认为是太史公蓄心留下的几句残而不残，缺而不缺，则更耐人寻味：“右历书：大余者，日也。小余者，月也。端蒙者，年名也。支：丑名赤奋若，寅名摄提格。干：丙名游。正北，冬至加子时；正西，加酉时；正南，加午时；正东，加卯时。”其中：“支：丑名赤奋若，寅名摄提格”，十二地支只注释了两个，“丑名赤奋若”，太初元年正好是“丁丑”年；“寅名摄提格”，《历术甲子篇》的历元泰初元年又恰好是“甲寅”年。

　　⑩、司马迁虽然没有在《史记·历书》直捣公孙卿“正经歪念”的用心，也不涉及汉武帝老爷子沉迷于“仙登”的过失，但在言及汉文帝也曾筹措制订汉历的文段中，却点到了两个人。其一是正在拟订律乐历法的丞相张苍，被方士公孙臣弄出的一条“龙瑞”逼得自请罢黜的“故事”；第二位是弄了一件假“文瑞”被文帝识破被诛了三族的骗子新垣平。体现了司马迁以文帝谏武帝的良苦用心。

　　⑾、《历术甲子篇》于第年历数后附上了帝王年号，给后世以错觉，以为必是《太初历》无疑。这也是很容易澄清的。历谱固然预后，唯帝王年号无人可以预卜，所以不是“历谱”已显然。至于如落下闳，既由他“运算转历”，在老历谱上加上注记是可能的。另外，有一位“后进好事者”褚先生，曾由他“复修”了不少太史公“尽于孝武”以后的史事，还有刘向、刘歆父子两人，都是有条件阅读动笔文本的人。也许，动笔加年名的人，根本就是奉太史公收录的《历术甲子篇》为《太初历》的圭臬，也可能。

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　　2、《汉书·律历志·第一上》：
　　“汉兴，方纲纪大基，庶事草创，袭秦正朔 。以北平侯张苍言：用颛顼历，比于六历，疏阔中最为微近。然正朔服色，未睹其真。而朔晦月见，弦望满亏，多非是。至武帝元封七年，汉兴百二岁矣。大中大夫公孙卿、壶遂、太史令司马迁等言：历纪坏废，宜改正朔。是时御史大夫倪宽明经术，上乃诏宽曰：与博士共议，今宜何以为正朔，服色何尚？宽与博士赐等共议，皆曰：帝王必改正朔，易服色，所以明受命于天也。创业变改，制不相复。推传序文，则今夏时也。臣等闻学褊陋，不能明。…遂诏 卿、遂、迁与侍郎 尊、大典星 射姓 (○射姓，人名。师古曰：姓射，名姓也。) 等议造汉历。……姓 ( ○师古曰：姓即射姓也 )等奏：不能为算，愿募治历者，更造密度，各自增减，以造汉太初历。乃选治历邓平及长乐司马可、酒泉侯 宜君、侍郎 尊及与民间治历者，凡二十余人，方士 唐都、巴郡 落下闳与焉。都分天部，而闳运算转历。其法以律起历，曰：律容一龠，积八十一寸，则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。夫律阴阳九六，爻象所终出也。故黄钟纪元气之谓律。律，法也，莫不取法焉。与邓平所治历同。于是皆观新星度、日月行，更以推算，如闳、平法。法：一月之日 二十九日八十一分日之四十三。先藉半日，名曰阳历；不藉，名曰阴历。所谓阳历者，先朔月生；阴历者，朔而后月乃生。平曰：阳历朔皆先旦月生，以朝诸侯王群臣便。乃诏迁用邓平所造八十一分律历，罢废尤疏远者十七家。复使校律历昏明。宦才淳于陵渠复覆《太初历》晦、朔、弦、望，皆最密，日月如合璧，五星如连珠。陵渠奏状，遂用邓平《历》，以平为太史丞。

　　“后二十七年，元凤三年，太史令张寿王上书言：历者天地之大纪，上帝所为。传黄帝《调律历》，汉元年以来用之。今阴阳不调，宜更历之过也。诏下主历者鲜于妄人诘问，寿王不服。妄人请与治历大司农中丞麻光等二十余人杂侯日、月、弦、望，八节二十四气，钧校诸历用状。奏可。诏与丞相、御史、大将军、右将军各一人杂侯上林清台，课诸葛亮历疏密，凡十一家。以元凤三年十一月朔旦冬至，尽（元凤）五年十二月，各有第。寿王课疏远。案汉元年不用黄帝《调历》，寿王非汉历，逆天道，非所宜言，大不敬。有诏勿劾。复侯 ，尽六年。《太初历》第一。即墨徐万且（○且：ｊū，人名），长安徐禹治《太初历》，亦第一。丞相属……治《终始》言：…寿王历乃太史官《殷历》也。寿王猬（○猥：师古曰 ，曲也。）曰安得五家历。又妄言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分，以故阴阳不调，谓之乱世。……寿王侯课，比三年下，终不服。（○比三年下：师古曰，比，频也，下，下狱也。）再劾死，更赦勿劾，遂不更言，诽谤益甚，竟以下吏。故历本之验在于天，自汉历初起，尽元凤六年，三十六岁，（○太初至元凤六年，为三十岁，不是三十六岁。）而是非坚定。

　　“至孝成世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微妙，作《三统历》及《谱》以说《春秋》，推法密要，故述焉。”

　　以上录《汉书》关于太初制订历法的经过，比《史记》所记详尽。《太初历》本法不存，《汉书》成书时间最近，所说当与事实也当最为微近，故应以其说法为最可信。将其叙述条理一下，归纳如次：

　　①、汉代秦统，未遑顾及改历，仍袭用秦制以十月为岁首。“以北平侯张苍言：用颛顼历，比于六历，疏阔中最为微近。然正朔服色，未睹其真”句，前人多有考证，清代学者姚文田《邃雅堂学古录》（清道光江阴学署刊本）：“古史称颛顼为历宗，考其纪算，从甲寅始。”另著《史记历书考》，则指出：“其所载历法与太初不同”。他所引数据，实出自《殷历》和《历术甲子篇》。
　　邹汉勋《学艺斋遗书》（清光绪刊本）：他认为“古历并为四分。”又说：“元起甲寅，日起甲子者，为颛顼之别一术，即《殷历》。”关于秦用之历，他说： “秦用颛顼历，盖年起乙卯（前366年）而日起于丁卯，杂作他法成之，非纯用颛顼历也”。（○按：岁前十一月朔日为乙卯，非“丁卯”。）以上两氏所说，即秦至汉武帝太初以前，均以《殷历》授时，只以十月名为岁首，称之为《颛顼历》。从1993年荆州周家台30号秦墓出土竹简历谱文字核之，连月名“正月”都置于建寅之月未作更动。

　　②、“遂诏卿、遂、迁与侍郎尊、大典星射姓等议造汉历。”说的是，大中大夫公孙卿、壶遂、司马迁三人为首，是太初议造汉历“领导小组”的主要成员。具体工作有由民间应募而来的约二十多人，共提出草案多达十八份，选取的是邓平所拟“八十一分律历”。其主要历术数据为“月策”：29. 43 / 81天。

　　③、“都分天部，而闳运算转历。……与邓平所治历同。”其文段中所述“法”，为邓平法，而非巴郡人落下闳之法。落下闳“法”于司马迁《史记·历书》中已述，为古四分历理的师门大法《历术甲子篇》；邓平之法才是“八十一分律历”。但两者精度同在一个水平上，可同推步出只有小异的“历谱”。

　　④、以八十一分律历为准编订的邓平《历》，经与天象实际核正，由肉眼观察来看，比其它方案最密近天象，故武帝下诏，取邓平《历》为《太初历》，以邓平为太史丞。

　　⑤、以上《太初历》为八十一分历、太初制历的主脚为公孙卿和邓平、八十一分律 历的 历 术内容 ,  司马迁在《历书》中只字未提，留给后人一个难以释怀的大疑团。

　　⑥、太初制历二十七年后，汉昭帝元凤三年（前78年），太史令张寿王发难太初历，揭出《太初历》为由《殷历》“亏四分日之三，去小余七百五分”移就。令人深思其合情合理的解释：落下闳“运算转历”，是师继承相传的“历术”数据向后移动一章，去小余705日分，以销去由于老历执行久远而产生的积差，以达到密近天象的目的。但是公孙卿与邓平，则将其稍加改造，调换以新的说法，以迎合汉武帝刘彻“造历得仙”追求，而窃取了落下闳的知识成果。

　　⑦、“至孝成世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。向子歆究其微妙，作《三统历》及《谱》以说《春秋》，推法密要……。”关于刘歆的活动始末，《律历志》开头即作了如下交待：“汉兴，北平侯张苍首律历事，孝武帝时乐官考正。（○考正：师古曰，质正其事。）至元始（公元1—5年）中，王莽秉政，欲邀名誉，征天下通知钟律者百余人，使羲和刘歆等典领条奏，言之最详。刘歆当然不能不知太初内情，为什么也箴口不言？需知刘歆其人对“怪力乱神”所向无忌的，在他以历法带春秋的《世经》中，办的是一份历史“小报”，什么男人变女人，家畜生人身，异类作性交，同性相爱恋，…百态奇闻，“照登”不误，把一切人间祸福灾异，都要跟天象历牒挂钩。他可以说是至如今老百姓“们”仍然看日子定宜忌行止的太上老祖。可是他也是“社会人”，为王者讳，为贤者讳还是通俗。这叫作 “非礼勿言”，至今如此。

　　至于司马迁老先生，对于公孙卿，却没有忘记在适当的文献材料中，将其“口喊万岁哄万岁”的技俩大白于后世。为此，有必要将公孙卿的一系列活动，回放一下。下录《汉孝武帝本纪》有关公孙卿活动的记载。

　　3、《史 纪·孝武本纪第十二》

　　前文链接：乐成侯有一个同时就学于一个师傅的仆人，名叫栾大，先为胶东王主管方药。乐成侯的姐姐为了讨好武帝，派栾大以乐成侯的关系求见皇上谈论方术。武帝让其小试手段，果然不错，加上人才一表，相见大悦。不到几个月，栾大就受赐黄金一万斤，还有第宅、僮仆，连佩“将军”六颗大印，还以公主下嫁，使其平地升天，成了汉武帝的附马。栾大的际遇，自然使人羡慕不已。于是齐燕方士，纷纷说自已有秘方，可以招来神仙。汉武帝元鼎四年（前112年）齐人公孙卿，闻皇上新得宝鼎，亦乘时干进，求见于内官所忠，对所忠说：“今年得宝鼎，与黄帝等时。卿有札书曰：黄帝得宝鼎宛朐，问于鬼臾区。区对曰：帝得宝鼎神策，是岁已酉朔旦冬至，得天之纪，终而复始。于是黄帝迎日推策，后率二十岁得朔旦冬至，凡二十推，三百八十年，黄帝仙登于天。卿因所忠欲奏之。所忠视其书不经，疑其（为）妄书，谢曰：宝鼎事民决矣，尚何以为！(拒不上传。于是公孙)卿因(另求一)嬖人，奏之。上大悦，召问卿。对曰：受此书申功，申功已死。上曰：申功何人也？卿曰：申功，齐人也。与安期生通，受黄帝言，无书，独有此鼎书。曰：汉兴复当黄帝之时。汉之圣者当在高祖之孙且曾孙也。宝鼎出而与神通，封禅。封禅七十二王，唯黄帝得上泰山封。申功曰：汉主亦当上封，上封则能仙登天矣。……如是天子曰：嗟呼！吾诚得如黄帝，吾视去妻子如脱屣耳。乃拜卿为郎，东使侯神于太室。（○所忠冷眼旁观，能视其书“不经”，能疑其书为“妄书”，公孙卿则一意营谋，另托“嬖人”，得近武帝，是小人也是人中之精。武帝热衷求仙，朝思暮想，闻声即喜；听得一声，刘邦的孙儿的曾孙是我刘彻，原来就在“瑶池会上”早就有名，如何不喜。难怪刘彻马上给骗子公孙卿封官，言听计从，甚至于能视妻子如再不上脚的破旧鞋袜。“黄帝合而不死”，语源于此！）

　　“十一月辛巳朔旦冬至，昧爽，天子始郊拜泰一。朝朝日，夕夕月，则揖；而见泰一如雍礼。其赞飨曰：天始以宝鼎神策授皇帝，朔而又朔，终而复始，皇帝敬拜见焉。（○武帝元鼎五年，前113年，以《殷历》，十一月朔辛巳184分交朔，冬至辛巳683分。公孙卿所报天象倒是很准呢！骗子也是高师级水平，无怪乎能玩帝王于掌上。“皇帝敬拜见焉”，如闻其声，如见其人。汉武心思急切可知。这年秋，已拜“五利将军”的附马级骗子奕大，因其“妄言”被揭穿受诛。公孙卿魔高一丈，骗运亨通，是个中强手。）

　　“其冬，公孙卿侯神河南，见仙人迹缑氏城上，有物若雉，往来城上。天子亲幸缑氏城视迹。问卿：得毋效文成五利乎？卿曰：仙者非有求人主，人主求之。其道非少宽假，神不来。言神事，事如迂诞，积以岁，乃可致。于是郡国各除道，缮治宫观名山神祠所，以望幸矣。（○文成五利：五利即刚被诛的奕大，文成则是先于奕大被揭穿作假受诛的另一大骗子。城上出现似野鸡足迹，能哄得皇帝亲幸缑城，小技而已；而致各郡国都大兴土木，修缮景观以待天子“视察”临幸，则是劳民伤财。）

　　“齐人以上疏言神怪奇方者以万计，然无验者。（皇帝）乃益发船，令言海中神山者数千人求蓬莱神人。公孙卿持节常先行候名山。至东莱，言夜见一人，长数丈，见其迹甚至大，类禽兽云。群臣有言见一老父牵狗，言：吾欲见巨公。已忽不见。上既见大迹，未信；及群臣有言老父，则大以为仙人也。宿留海上，与方士传车及间使求仙人以千计。（○海上荒岛突然数千使者来往不绝，好热闹！）

　　“公孙卿曰：仙人可见，而上往常遽，以故不见。今陛下可为观，如缑氏城，置脯枣，神人宜可致。且仙人好楼居，于是上令长安则作蜚廉桂观，甘泉则作益延寿观，使（公孙）卿持节设具而侯神人。乃作通天台，置祠具其下，将招徕神仙之属。于是甘泉更置前殿，始广诸宫室。（○元封二年即前109年事，时公孙卿已升中大夫矣！公孙卿说：你皇帝来的次数太多了，神仙可能生厌，会不愿见你！）

　　“其明年，伐朝鲜。夏，旱。公孙卿曰：黄帝时封则天旱，干封三年。上乃下诏曰：天旱，意干封乎？其令天下祠灵星焉。（○天干不为灾，强词得夺理 ! 因己入其术中的汉武皇帝已不觉其无理，反而肯定：是! 是！是！）

　　“其明年冬，上巡南郡，至江陵而东。登礼潜之天柱山，号曰南岳。浮江，自浔阳至枞阳，过彭蠡，祀其名山川。北至琅邪并海上。四月中，至奉高修封焉。（○汉武不辞辛劳，朝山、浮江、泛湖、下海，无远不至，盼能成仙，心诚可鉴。）

　　“其后二岁，十一月甲子朔旦冬至，推历者以本统。天子亲至泰山，以十一月甲子朔 旦冬至日祀上帝明堂，每修封禅。其赞飨曰：天增授皇帝泰元神策，周而复始。皇帝敬拜泰一。冬至海上考入海及方士求神者，莫验，然益遣，冀遇之。（○元封七年，前104年岁前十一月朔日密近天象的交朔时刻为癸亥657分，冬至癸亥627分。按《殷历》则为甲子705分。汉历授时月大，为《殷历》可知。因《殷历》受精度限制，又执行过久，积差失准甚大，推历修正为甲子，具有积极意义。然云“天增授皇帝泰元神策”，把天象系于人谋，则是公孙卿者流的有意逢迎定调了。

　　“十一月乙酉，柏梁灾。十二月甲午朔，上亲禅高里，祠后土。临渤海，将以望祠蓬莱之属，冀至殊庭焉。（○甲子至甲午距30天，十一月则月大无误。武帝则以为天增泰元，是难得的与神灵契合的“际遇机缘”，故侯望仙庭迎迓于他。）

　　“上还，以柏梁灾故，朝受计甘泉。公孙卿曰：黄帝就青灵台，十二日烧，黄帝乃治明庭。明庭者，甘泉也。……于是作建章宫，……。○朝受计甘泉：在甘泉 “现场”办公，接受统计表册。先是天干旱，公孙卿说是黄帝上天前，天也不下雨，好让黄帝有干路走。现在柏梁遭遇火灾，公孙卿又有词，“原来”（黄帝上天成仙前的十二天，其青灵宫也曾先有火灾。真是把死人也说得活了。）

　　“……今上封禅，其后十二岁而返，遍于五岳四渎矣。而方士之候祠神人，终无有验。而公孙卿之候神者，犹以大人迹为解，无其效。天子益怠厌方士之迂怪语矣，然终羁縻弗绝，冀遇其真。自此之后，方士言祠神者弥众，然其效可睹矣。（○自太初后，武帝寻仙五岳四渎，历十二年，对公孙卿之流也厌倦了，还是不忘笼络，来往不绝，想有真仙出现。效果如何？有目共睹。）

　　以上摘引《史记·孝武本纪》关于武帝“求仙记”中，与公孙卿有关系的部份。太史公后记中说，他随从巡祭，得究观方士侍候汉武帝祠神的言行，也论次自古以来用事于鬼神的里表内外。于是记了下来，俟“后有君子，得以览焉”。

三　刘歆《三统历》历术追踪

　　参加和主持《太初历》的邓平和落下闳两人，充其量只是精于历算的“畴人”而已，他们一待修正老历积差密近天象的历书“任务”完成以后，两人的历史责任也就大功告成了。至于历书本身准确度有问题，那是限于肉眼观测条件造成的时代通病，包括参加制订历法的人，无不心中有数，又无可奈何。举一个稍远的例子：明崇祯二年（1629年）五月日食失验，皇帝准备治当职台官的罪。徐光启（1562—1633）知道后，启奏皇帝，说了一段很有名的话。他说：“台官测侯，本的是郭守敬之法，郭守敬就自知其法在精度上仍然有问题。何况时间长了，必有误差，只宜及时修正。”（语意译。）因为这段话是《崇祯历书》修历的缘起，而徐光启又是修订《崇祯历书》的总监，他的话有代表性也具有权威性，所以据此判定说历人之于历法的精度，大致都心中有数，应无大错误。

　　刘歆是西汉古文经学派的鼻祖，刘歆是著名的经学家，已为人识之久矣，而他是超时代水平的数学家，则“仍在深闺”，未为人识。刘歆以数理阐《易》象，未必成功，但其思想影响巨大深远；尤其是阐述中用了大量数学运算，其数字运算过程和结数无一错误，则知其造诣颇深，非一般持兔园册的塾师，也不是只知之乎也者的腐儒了；更不应使其瘗没无闻于后世的，是刘歆对古四分历置闰方法的数学归纳。关于古文经学是非曲直，这儿不说。但是自初太改历至王莽秉政，期间相距足一百年，刘歆既是个中高手，他有一个总的概括的想法，他想把天、地、人、五行阴阳，总之是把自然界乃至人的社会行为、相互间的关系，都简单扼要地抽象为数象关系。本来，自然界乃至社会也确实存在着大量的无微不至的数量关系，而且非常微妙；这是诸多定理定律关系公式得以产生的条件。很多人为此探索不止，卓有成效。但也导至一些科学巨子，由于独身纵深，无奈于不可穷止而走火入魔，终归功于神的有意志的第一推动，如牛顿《自然科学的哲学原理》的结论所述。在刘歆所处的时代，他比牛顿可能走得还远，不愧要算得是走火入玄的时代精英。他借数象阐发历理，使历算这门实际应用科学，变成了向世人谈玄论道的无穷止的话题。

　　《汉书·历律志》说：自伏牺氏研究八卦，万物的数的研究得以兴起。汉王莽执政，为钦名誉，征集天下通知钟律的人一百多位，以刘歆领头，言之最详。刘歆以《易》数起律，因律得历，于是就将历法的诸多参数，一 一归入其数象研究的范畴。

　　1、日法：八十一分。《律历志》：“日法八十一。元始黄钟初九自乘，一龠之数，得日法。”先说“黄钟”。司马迁《史记·律书第三》：“黄钟长八寸十分一”，指明为八十一分。再研究“龠”。它是汉尺方九分，见方9乘9分，深一寸的古代量器。合今2.097×2.097×2.33 =10.246立方厘米体积。十龠为一合，百龠为一升，形象地说，龠是容量可以盛下约1200颗小米的量器。刘歆引“龠”为喻，只是取其形象作为让人易记的教具。首先交待的“黄钟初九自乘，亦即取“初九”之数为尺度，得9×9 = 81为历法中一日的分数，才是历数。9×9 = 81，来自人人会背记的“乘法表”，过去叫“九九归”或“小九归”，其口诀至迟于春秋齐桓公时代已为国人熟知，并视为“九九归真”，是一个很完满的数象。《西游记》第九十九回的回目“九九数完魔难尽，三三行满道归根”，说的是唐僧需经九九八十一难，才能功行完满。
　　日分八十一分，刘歆在日分为八十一分为题上，用了量器“龠”的形象，说的却是九九归一的数象。这一条，从年策取365.25日而言，两者也有一定的关联。例如：每过八十一岁，（中间相距实际80回归年。）为29220日，除以六十甲子数60，得甲子循环487周，使节气，如冬至，为干支同名之日。以今公历计，相距80年，中间如无世纪缺闰年情况，则也是日期相同，干支同名。例如：2001年元旦日干支甲子，则前后相距80年的1921年和2081年元旦日干支也都同是甲子日。
　　日分为八十一分，可能分法过于粗疏，在历法上后来没能坚持下来；但在时令节气上，却留下了不少讲究。例子如冬至进九，从一九到九九出九，八十一天；同样夏至后也有九九的说法，也有八十一天；还有“九九艳阳天”、“重九登高”，“数九寒天”等，大抵都是其说法的孓遗。

　　2、月法：“月法二千三百九十二。推大衍法，得月法。”说的是以日81分计，一朔望月的长度为2392分。由古四分历，本可很容易转换的：因古四分朔望月长：29 . 499/940日 ,稍作转换,即为八十一分制2391 . 998931分 , 取其整数 , 即为2392分。但刘歆不这么承认，而是另辟“推大衍法，得月法”的奚径。所谓大衍法其说于下：

　　“是故元始百象一也，春秋二也，三统三也，四时四也，合而为十。（1 +2 +3 +4 =10）成五体；以五乘十，大衍之数也。（10×5 = 50；50是《易经》的大衍数）而道据其一，其余四十九，所当用也，故蓍以为数。（蓍：ｓｈī。50 － 1 = 49。49是用蓍草进行占卜的主要数象。）以象两两之，又以象三三之，又以象四四之，又归奇象闰十九，及所据一加之，因以再仂两之，是为月法之实。（49×2×3×4 +19 +1= 1196。1196×2 =2392。）”

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　　将上面的说法归纳为综合算式于下：

　　{[(1 +2 +3 +4) ×5－1] ×2×3×4 +19 +1}×2 =2392。

　　“如日法得一,则一月之日数也”。这句是说，以81分为一日，除月分2392，得一个月的天数为：2392÷81 = 29……43，即《太初历》月策为29. 43 / 81天。此结果用十进制表示为：29 . 530864。与古四分历月策29.530851比较，再进而跟月朔实测值 29.530588比较，精确程度都很高。但以两历相较，则古四分历“月策”更微近实际天象。因此刘歆的“新”说法，反而不如古四分历精确。

　　刘歆关于《三统历》月策来源于《易经》“大衍法”的推导，若从其时代已有的数学知识而言，无疑已置身于超时代的水平。在数学上，刘歆众所周知的是他的圆周率成就，世称“刘歆率”。在这儿，刘歆用叙述的方法，能将“月法”整理得如此条理，比之如用现代解括号的一长串算式还直观，实在令后之学者叹为观止。可是，刘歆用“大衍数”来推演历法，却又无疑是他画虎类犬，属于一大败笔。因为以一岁之长为十进制365.25天，只有近似的准确性。至今，在每400年范围内，公历仍然是以年365.25日授时的；这样才有上面说的，相距80年日期相同，干支同名的可能。但即或从如今已实测真知的，岁长365.2422 天而言,也只是对地球绕日公转周期的一个时期的准确描述，而不能算是绝对真理。宋宁宗五年，杨忠辅创制《统天历》，就首次表了现了回归年古大今小的变化的观测见解。今已知，地球绕日公转周期，若以万年计，距今六千万年前，为370天顷；由此知其变快的速度，约为每一千万年加快一日。刘歆则将此相对真理作绝对化定格，并由此，从太初元年上推的“太极上元”，是距其时7879680年之年。我想，如果其时有人类文明，也正好赶上“岁长366天”的记述整数了。关于真理的相对性原理，老子有名句，说是“道可道，非常道；名可名，非常名”，说得非常的好。刘歆认识不及此，才握着一把相对准确的尺子，却认为是绝对准确的圭臬，到处乱比划，如裁定出“前1122年武王伐纣克商”的绝对年份，就误导舆论长达整两千年之久。

　　3、周天：“周天五十六万二千一百二十。以章月乘月法，得周天。”这是说以章岁19年的月数235月，乘以月法2392日分，得一章岁即19年的分数为562120分。以此数除以19，得一章岁为562120÷19 = 6939. 61 / 81天。（相当于历115甲子大余39天，小余61分。）
　　周天数562120若当为天数，其长度则是一统岁，即是1539年的天数。由此得岁法：

　　4、岁法：《三统历》作积日法推历，故未在历法中明确提出“岁法”。此岁法用562120÷1539 = 365. 385 / 1539天。

　　5、统法：《三统历》以81章岁为一统岁。由上已知一统岁为562120天，以六十甲子数60除之，知历9368循环后，大余40天，无小余。

　　6、元法：“元法四千六百一十七。三统法，得元法。”以三统岁为一元岁，一元岁为4617年岁。

　　7、闰法：闰法十九，因为章岁。合天地终数，得闰法。什么是“天地终数”？很简单，指的就是最大的个位数“天九地十”。刘歆说：“并终数十九，《易》：穷则变。故为闰法。”因为一章岁为19岁，含235朔望月，除去正常的12×19 = 228月外，有7个闰月。刘歆关于闰月安排已形成为系统学说，下述于次：

　　①、刘歆安排闰年的方法，说的很不直观，不如孟康的疏注：“岁有闰分七分，分满十九分，则为闰也”。现在对其说法，较详细地解释于下。设一个朔望月的天数为S天，则一章岁19年当设立闰月的天数，也就是称之为“闰余”的总天数共为为“7S”天。以19除以7S，就为每年分配的闰余的天数，为7S÷19 天。当累积余日积足一个朔望月的天数时，即积够S日时，当为置闰之年。设n为从章岁第一岁算起的积年，可得式：（7Sn÷19）÷S = ［7 n÷19］。用ｎ = 1、2、3、……代入，能被19整除而且引起得数变化的数Δ，其得数Ω，设为当闰的年份，则为其在章岁中的闰次为Δ ＝ [ 7n÷19 ] 。式中的方括号表示整除。
　　当n =Ω = 3、6、9、11、14、17、19代入上式中时，相应的Δ = 1、2、3、4、5、6、7。由以上闰年安排推出的数学模式，发掘出的由章岁首岁计序的第Ω = 3、6、9、11、14、17、19…年，是一个数学数列，表示为该年在章岁中的位置，而得数Δ，是一自然数列，表示的是在章岁中闰年的秩序。因为这样安排闰年的方法，首说于刘歆，因之拙以之名为“刘歆第一数列（Ω）”。再归纳述于次：
　　设n为由小变大的自然数，凡符合式Δ＝ [7n÷19] 且引起得数改变的最小自然数Ω，成一数列，为“刘歆第一数列Ω”。

　　②、关于当闰的月份：自古以来，大致是安排于当闰年的年末。但刘歆对闰月月份的安排，则有新的见解。他从《易经》“穷则变”引伸出的说法是“闰尽则闰”。以《左传》鲁文公元年（前626年）记“于是闰三月，非礼也”句为例，一般理解为“闰月没有放在岁终”，所以受到“遣责”。而就刘歆的说法，因为前 626年，属于太初上一元的第五十四章岁的第十一年，前此本章岁已闰了三闰，去闰分57分，岁初闰余的闰分为7×10－57 = 13分，以尚差6分满 19分的月份置为闰月。按年闰分7分，月得7/12分，以6÷7/12 = 6×12÷7 = 10.28 ≈11，所以《三统历·世经》说：“是岁闰余十三，正小雪，闰当在十一月后，（夏正为九月后。）而闰三月，故《传》曰：非礼也。”我们对于刘歆的说法，不妨作如下理解：关于“闰尽则闰”的思想，或闰置于“没有中气月份”的思想，春秋战国时已经形成了一种新的趋势，但不成为主流思想。也可以认为，在历人们师承相传的历术秘典中，也已经列为“成法”，但在人们的观念上，沿没有普及。从《太初历》之后，则已变成了书面成文。
　　因之，若贯彻刘歆闰月安排的想法，可作如下演绎：在某章岁中，当闰的以章首岁开始计序的年份Ω数确定之后，到Ω终岁的闰日有7Ω天，而己闰销去的天数的闰余数为7ΩMOD19，MOD19表示取7Ω除以19的余数。由于7ΩMOD19不会大于7，所以 (7－7ΩMOD19)就是刘歆说的本年距数 19 的差数。这个差数扩大12倍再整除以7，就是当闰所在的月份了。以K表之：
　　K＝［（7－7ΩMOD19）×12÷7］
　　当以闰序所在的年份Ω＝3、6、9、11、14、17、19 分别代入上式时，K＇＝ 8．57、5．14、1．71、10．28、6．85、 3．42 和0。若取其“整除数”，则K＝8、5、1、10、6、3、0 (月份)，为从冬至与交朔于夜半子时所在月份算起的月份数。换成夏历，则依次为 6、3、11、8、4、1、10 七个月 了。但是具体闰月的安排，比上述方法要多些讲究。以后就进步到闰安排入没有中气的月份了。

　　8、关于闰月与中气：中气月名的对应（月序依夏正）：

十一月/冬至；十二月/大寒；一  月/雨水；
二  月/春分；三  月/谷雨；四  月/小满；
五  月/夏至；六  月/大暑；七  月/处暑；
八  月/秋分；九  月/霜降；十  月/小雪。

　　《史记·五帝本纪》：“日短，星昂，以正中冬。其民燠，鸟兽鹬毛。”说的是节气在冬至时的天象与物侯：白天最短；傍晚昂星出现于正南；天气已寒冷，需生火取暖；鸟兽羽毛变得又密又厚。我国四季分明的地区，民谚说“冬至至长”。感觉敏锐的人，冬至日一过，能明显察知白天一天比一天长。又凡是鸟兽，比人的感觉更为敏捷，所以猎人和皮毛商，也都有冬至过后猎物毛羽才值钱的经验。凡此等等，都是冬至节令的显著征侯。从历法角度来说，由原始的以初春移到以冬至为岁之首，反映了由物侯移向有比较准确天象起始点一大进步。
　　二十四节中，有以上十二个代表月份的中气，将一回归年（一岁）等分为十二个时间段，然后又将闰月安排在朔望月不出现中气的月份，实际上则是由闰月安排在岁末改进为安排在“闰尽”的过程中，被人察觉到，如果闰月安排在没有中气的月份，就不会影响到每个中气所对应的月名。这也是由长期实践得出来的经验，而并非有人预知而作出的什么巧妙安排。

　　下面来证明其确实：古历以平均气距为30. 14/32 = 30.4375天,而朔望月月策为29. 499/940 = 29.530851天. 两者相差为30.4375－29.530851 = 0.906649日。从一章岁十九年来看，因为有228个中气时间段，也就是 30.4375×228 = 29.530851×235 = 6939.75 = 365.25×19(天)。由等式代换，30.4375－29.530851 = 0.906649 可以表示为（29.530851×235－29.530851×228）÷228 =29.530851×7÷228 = 0.906649天。于是，从每章岁岁首算起的月序为M，按上面的方法 , 同样设式为Δ＝ [0.906649M÷29.530851] ,说的是将 30.4375－29.530851 = 0.906649的差数积足到一个朔望月时，将置闰的月份，正好踩在了某两个中气的后线上。将算式Δ中的 0.906649用上面的得式代入，得 ：

　　Δ＝[（29.530851×7÷228）M÷29.530851] = [7 M÷228]

　　当： M＝33、66、98、131、163、196、228时，对应的可得到： Δ＝ 1、 2、 3、  4、  5、 6、  7。如是，我们从寻求闰月安排在没有中气的月份出发，推导出来的算式，殊途同归，得到的结果，与用刘歆第二数列的方法求解的结果一致。可知，刘歆的闰尽则闰，与在平闰条件下，闰月安排在没有中气的月份，其贯彻的历法思想是一致的。

　　请注意，刘歆说的是“闰尽则闰”，并未想到踩不踩“中气”后线。上面结果有的是在两中气中间，也有的踩着了“中气后线”如果由刘歆的想法，再往前一步，也即是由不管“踩着后线”，到完全不踩“线”如是就正好将闰月安排到“两个中气”的中间，也就是将闰月安排到没有中气的月份上了。下面将刘歆数列结果列表于下：（刘歆闰月和无中气月份是以岁前十一月为始往下算的，故改成“夏正”须再往前移月名两月）

列数 M —033—066—098—131—163—196—228
得数　　Δ—01— 02— 03— 04— 05—06— 07
闰年章序：03— 06— 09— 11— 14— 17— 19
闰月月序：09— 06— 02— 11— 07— 04— 12
无中气月：08— 05— 02— 10— 07— 03— 12
夏正闰月: 06— 03— 12— 08— 05— 01— 10

　　再说明一点是，在闰月的具体安排上，上面只是从历理进行的分析，在具体闰月安排上，涉及的变数较多，与推理算出的稍有区别。因此，各中气点、交朔点是不是在实际的天象上，又闰月是不是在真实没有中气的月份上，仅由上述刘歆算式，还不能完全解决问题。但若不强调与中气合步，则用刘歆算式决定置闰，也不会造成历算上的混乱，是可以肯定的。从这一角度看，刘歆“闰尽则闰”的思想，至今都是具有很大实用价值的。

四　　 用《三统历》历术排太初历谱

　　1、 据《汉书·律历志第一下》载，刘歆《三统历》以汉武帝太初元年为历元首岁，“距上元十四万三千一百二十七岁。（岁）前十一月甲子朔旦冬至，（太）岁在星纪婺女六度，故《汉志》曰岁名困顿，正月岁星出婺女。”指明了历元起点年的相关星象人事数据。（○所谓历元，就是寻找一个月朔与冬至在同日，且日分(小余)都同在“0”分时的“日子”作为“坐标原点”，便于向下推历。太初元年既已定点为“历元”，也就是岁前十一月交朔甲子0分，冬至也认为是甲子0分。）

　　另外说明一点是，《三统历》已经废除了古四分历以76年为一蔀岁这们个长于一年的单位，但实际上，为便于推历，仍使用了以四章岁为一“篇”的，调换了不同用字的叫法。往下构造历谱时，说：“各从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一，各尽其八十一章。推篇，大余亦如之，小余加一”。“四章而朔余一，为篇首”。由此，据其篇出的《历谱》各章章首的历数于下：（正文除指明者外，小余以81分制为分母。后附括号中的是密近天象参考历数，以日分 940分为分母。）

(1)、甲子00分(01．00)，1章首。
汉武帝太初元年，公元前104年。（60.657）
(2)、癸卯61分(40.61)，2章首。
汉昭帝始元二年，公元前85年。（40.363）
(3)、癸未41分(20.41)，3章首。
汉宣帝地节四年，公元前66年。（20.070）
(4)、癸亥21分(60.21)，4章首。
汉元帝初元二年，公元前47年。（59.717）
《世经》：“元帝初元二年十一月癸亥朔旦冬至，《殷历》以为甲子，以为纪首。是岁也，十月日食，非合辰之会，不得为纪首。距建武七十六岁。”
(5)、癸卯1分（40.01），5章首。
汉成帝河平元年，公元前28年。（39.424）
(6)、壬午62分（19.62），6章首。
汉成帝元延四年，公元前9年。 （19.131）
(7)、壬戍42分（59.42），7章首。
新王莽始建国三年，公元11年。（58.778）
(8)、壬寅22分（39.22），8章首。
东汉光武帝建武六年，公元30年。（38.485）
(9)、壬午2分（19.02），9章首。
东汉光武帝建武廿九年，分元49年。（18.250）
(10)、辛酉63分（58.63），10章首。
东汉明帝永平十一年，公元68年。（57.897）
(11)、辛丑43分（38.43），11章首。
东汉章帝章和元年，公元87年。（37．524）
下按《后汉历》，移历数为37．705，即庚子705分。

　　《太初历》使用止于东汉章帝元和二年（公元85年），岁前十一月朔日癸未。时由编 沂、李 梵创制实施的《四分历》，世称《东汉历》或《后汉历》。 该历以汉文帝后元三年（前161年）岁前十一月朔日甲子0分作历元起历。由于前161年《殷历》朔日为乙丑，而密近天象的交朔时间为甲子596 分，《东汉历》预去其日分，等于削去了古四分历的积差，相当于将老历的历数提前一日，故自动密近了天象。由《东汉历》算得，汉章帝章和元年（公元87年）为以前161年为历元算起的第蔀岁第二章岁首岁，岁前十一月交朔历数为庚子705/940分。将此数与上表末栏括号中的历数对照,《东汉历》实际起点的历数，与天象已很密近了。

　　说到这里，顺便提一下一个的趣的问题：新的《四分历》既以前161年为历元，则太初元年为其第三章岁的第一年，也就是说，按东汉新历法，汉武帝太初元年的历元起点，不是甲子“夜半子时0分，而是60.235分，只合于“癸亥卯时”。《续汉书··律历志》说“亏四分日之三”，就是指的1.000与 60.235这两个历数之差为0.705说的。此一说法，至少有三点质疑：第一，不合张寿王发难实情。查“亏四分日之三”的说法，原来是在太初历实施二十七年后,由太史丞张寿王发难《太初历》时说的，并引发了三年历法“大战”。按太初元年密近天象的交朔时间确应为60.657，合癸亥657分，冬至时间为 60.627(癸亥627分) 。张寿王所坚持的一些说法,己有人当面指出，他手持的是《殷历》，而《孝武帝本纪》又明明记着该年十一月甲子月大，与按《殷历》推出的“甲子705分”毫忽不差，因此张寿王说的是由手持《殷历》所订“甲子705分”去其705分而定为甲子历元0分。第二点，不合历史记载。正如祖冲之早己指出的：“四分之法，久则后天。以食验之，辄差一日。” 这是先秦直至西汉历史记载正确总结。若按《续汉书·律历志》说法，太初未改历之前子月交朔历点为60.235 (癸亥235分)，岂不是历法己先于天象。这不符合由秦至汉历纪滞后于天象的历史记载。第三点，不符合元凤议历结论。元凤议历三年，结论是“课诸历疏密，凡十一家，各有第，寿王课疏远。…复候，尽 ( 元凤 ) 六年，《太初历》第一，即墨徐万且、长安徐禹治《太初历》，亦第一。”张寿王所举的既不是，“凡十一家”历书中也不可能有比《太初历》精度更高的某一历谱。如果真存在有一本如《续汉书·律历志》所说的比《太初历》密合天象程度更高的历谱的话，张寿王不会败的那么狼狈，甚至连太初修订历法为了密近天象，倒成了疏远天象了。新《四分历》“亏四分日之三”所揭示的，正面而议，是为立汉文帝后元三年(前161年)为新的“历元”增加一条不是理由的“理由”；反面议之，或则是再一次借用张寿王的一句“妄言”，直斥《太初历》的制订人用了不可告人的骗术，把本不是天象的“历元之年”，勉强附会说成是合于天纪的历元首岁，以迎合汉武帝的虚荣的险恶居心。

　　2、 上面已经介绍了用《三统历》编订《太初历》的一些参数，下面再加几条，即可用“积日法”从历元开始，恢复太初历数了：
　　(1)、推积月：历元首岁积月0；以下平年积月12，闰年积月13。
　　(2)、 推岁初闰余：历元岁首0；以下岁加7。岁初闰余12分及以上，本年当闰；置闰后积分削去19分。
　　(3)、 推岁初积日：历元岁首0；以下为上上一栏的岁初积日与本年历日之和。
　　(4)、 推岁初大余：岁初积日除以60的余数。
　　(5)、推岁初小余：历元岁首为0。以下上栏为平年加30，闰年加73。小余等于或大于81时，削去81。
　　(6)、 推本年历日日数：本年平年时，小余51分及以下，年354日；小余大于51分，为355日。本年闰年时，小余8分及以上，年384日；小余少于8分时，年383日。
　　(7)、本年岁初历数（简称“历数）：本岁岁初大余加1和小余以圆点间隔开的“合数”。按：因为古时六十甲子顺序从0开始，今则从以1为甲子，故以算外加以1入“历数”。
　　(8)*、 推月大与月小：从岁首或任意月份开始，本月小余少于38分，月小，月29日；本月小余38分及以上，月大，月30日。由本月月首“历数” 加大余29，加小余43分，得下一月的历数。唯须记住：小余数需按81进位制进位。即小满81分时，去81分，且大余同时加1。例如本月19.46分，求下月“历数”？19.46 + 29.43 = 48.89 = 49.8，为下月“历数”。
　　(9)*、推二十四节气：由历元岁首开始，以32分为分母，每节节距15.7分; 大余60循环不进位, 小余用32进位制进位，依次下排。 若只排中气或只排节气，则以气距30.14，亦依前法排之。推冬至： 由历元1.00开始, 岁加5.08分,大余60循环, 小余32进位。
　　(10)**、推闰月月份：用刘歆法。 法：岁初闰余12分及以上时，本岁有闰；以19减去岁初闰余的分数，乘以12 / 7，得商，将商逢为整数，以商逢为整数的数为闰月名，闰下一个月。以岁初闰余为U，若取整除 [(19－U)×12 ÷7] 值为闰月月名，则入闰于无中气的月份了。当整除得商为 0时，则当以闰岁末月。又上均以建子之月作岁首月计算的。换成夏正，则应将闰月的月份往上移2月才是。
　　*历数表每年只出具一个“历数”，故历数表和年历谱不显示数⑧和⑨。
　　**历数表和年历谱也不显示数⑩。因在具体推历时，此处推出的闰月月份，需结合实际予以应用才行。

　　3、 以上推历十步，只须更换小余分制，同样适用于推古四分历历数。因古四分历历数已有《史记·历术甲子篇》本法，可直接引用，所以未出具体推法。 《太初历》虽然本法不存，其实《三统历》是在《太初历》实施年间所著，完全可据以恢复《太初历》原貌。兹试用以上十步，推出《太初历》首四章历数于下：(表后附注为公前年号。)

附《太初历》复原第一至第四章历表

   第一章历数表（表一）

序  积月   闰余 积 日 大余 小余 历日 历数  附注
01  000   00  00000  00   00  354  01.00  太初武帝
02  012   07  00354  54   30  354  55.30  103
Ⅰ  024   14  00708  48   60  384  49.60  102
04  037   02  01092  12   52  355  13.52  101
05  049   09  01447  07   01  354  08.01  天汉
Ⅱ  061   16  01801  01   31  384  02.31  099
07  074   04  02185  25   23  354  26.23  098
08  086   11  02539  19   53  355  20.53  097
Ⅲ  098   18  02894  14   02  384  15.02  太始
10  111   06  03277  37   75  355  38.75  095
Ⅳ  123   13  03632  32   24  384  33.24  094
12  136   01  04016  56   16  354  57.16  093
13  148   08  04570  50   46  354  51.46  征和
Ⅴ  160   15  04724  44   76  384  45.76  091
15  173   03  05108  08   68  355  09.68  090
16  185   10  05463  03   17  354  04.17  089
Ⅵ  197   17  05817  57   47  384  58.47  后元
18  210   05  06201  21   39  354  22.39  087
Ⅶ　222   12  06555  15   69  384  46.69  始元昭帝

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第二章历数表（表二）

序  积月 闰余 积 日   大余 小余 历日 历数  附注
01  235   00  06939  39   61  355  40.61  085
02  247   07  07294  34   10  354  35.10  084
Ⅰ  259   14  07648  28   40  384  29.40  083
04  272   02  08032  52   32  354  53.32  082
05  284   09  08386  46   62  355  47.62  081
Ⅱ  296   16  08741  41   11  384  42.11  元凤
07  309   04  09125  05   03  354  06.03  079
08  321   11  09479  59   33  354  60.33  078
Ⅲ  333   18  09833  53   63  384  54.63  077
10  346   06  10217  17   55  355  18.55  076
Ⅳ  358   13  10572  12   04  383  13.04  075
12  371   01  10955  35   77  355  36.77  元平
13  383   08  11310  30   26  354  31.26  本始宣帝
Ⅴ  395   15  11664  24   56  384  25.56  072
15  408   03  12048  48   48  354  49.48  071
16  420   10  12402  42   78  355  43.78  070
Ⅵ  432   17  12757  37   27  384  38.27  地节
18  445   05  13141  01   19  354  02.19  068
Ⅶ　457   12  13495  55   49  384  56.49  067

第三章历数表（表三）

序  积月 闰余 积 日   大余 小余 历日 历数  附注
01  470   00  13879  19   41  354  20.41  066
02  482   07  14233  13   71  355  14.71  元康
Ⅰ  494   14  14588  08   20  384  09.20  064
04  507   02  14972  32   12  354  33.12  063
05  519   09  15326  26   42  354  27.42  062
Ⅱ  531   16  15680  20   72  384  21.72  神爵
07  544   04  16044  44   64  355  45.64  060
08  556   11  16419  39   13  354  40.13  059
Ⅲ  568   18  16773  33   43  384  34.43  058
10  581   06  17157  57   35  354  58.35  五凤
Ⅳ  593   13  17511  51   65  384  52.65  056
12  606   01  17895  15   57  355  16.57  055
13  618   08  18250  10   06  354  11.06  054
Ⅴ  630   15  18604  04   36  384  05.36  甘露
15  643   03  18988  28   28  354  29.28  052
16  655   10  19342  22   58  355  23.58  051
Ⅵ  667   17  19697  17   07  383  18.07  050
18  680   05  20080  40   80  355  41.80  黄龙
Ⅶ  692   12  20435  35   29  384  36.29  初元元帝

  第四章历数表（表四）

序  积月 闰余 积 日   大余 小余 历日 历数  附注
01  705   00  20819  59   21  354  60.21  047
02  717   07  21173  53   51  355  54.51  046
Ⅰ  729   14  21528  48   00  383  49.00  045
04  742   02  21911  11   73  355  12.73  044
05  754   09  22266  06   22  354  07.22  永光
Ⅱ  766   16  22620  60   52  384  01.52  042
07  779   04  23004  24   44  354  25.44  041
08  791   11  23358  18   74  355  19.74  040
Ⅲ  803   18  23713  13   23  384  14.23  039
10  816   06  24097  37   15  354  38.15  建昭
Ⅳ  828   13  24451  31   45  384  32.45  037
12  841   01  24835  55   37  354  56.37  036
13  853   08  25189  49   67  355  50.67  035
Ⅴ  865   15  25544  44   16  384  45.16  034
15  878   03  25928  08   08  354  09.08  竟宁
16  890   10  26282  02   38  354  03.38  建始成帝
Ⅵ  902   17  26636  56   68  384  57.68  031
18  915   05  27020  20   60  355  21.60  030
Ⅶ  927   12  27375  15   09  384  16.09  029
◎  940   00  27759  39   01  354  40.01  (028)河平

　　① 以上是用《三统历》历术推步出的《太初历》历数表。其尾栏带“◎”符的一栏，既是下一章岁岁初历数，也是本表四章岁76年历数的“结数”。按刘歆的交待：“各从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一，各尽其八十一章。”要就如上法一章一章地往下排完81章1539年，可见其历法推步的烦琐工艺。我花工夫推出四章，已不敢保准不出错了，何况当时计算工具和方法比现在落后的多。假若我是当时的一位“宗师”，当然这只是“假若”。我这位“宗师”把推出的数据交给门人弟子。若有一位，其中的一位，发现了表中历数出错了，兴冲冲跑来告诉我，我又不甘心认错，如何办呢？山人自有妙法。我会当众先骂无关弟子们一顿，说：“你们太不成器了！”然后表扬说，只有他，看得出为师预先留下的“错数”，孺子可教！当然，被表扬了的这位门人高兴，门下弟子们也会同声奉其为“上座弟子”了。最后，接班人宗师是不会用他的。因为他没学好“关系学”，不知道为尊者讳。当年黄梅山五祖没有将“衣钵”传给其已奉为上座弟子的神秀，而传给六祖惠能，就可能因为神秀太逞能了，有抡班夺衣钵的徵候。不是么？《法宝坛经》有精彩记述。

　　② 表上各数76个历数，就是由太初元年始，给出的依次各年的历数。逐一给安上年号，但无碍用作为基本数据使用。刘歆虽取消了古四分历76岁为一蔀岁的名号，但他也留了一手：“四章而朔余一，为篇首”。由上表历元首岁历数1.00,加上39.01,得出为40.01,正好就是上表最末位篇外第77年的历数。由上表各栏历数通加39.01,也就把下一篇76年的历数也排出来了。不但如此，由上四张表出的“历数”，只要加上几个39.01那么，无论是属于哪一“篇”的历数，也能逐一排列出来。所以其实是不用去“各尽其八十一章”的笨办法的。

　　③ 由表一至四，将其推历结果的历数抽出，集于表五，可得到与司马迁《史纪·历术甲子篇》类似的历数表如下。参见拙文：《遗世历术宝典〈历术甲子篇〉解读》，比较两表数据，可以清楚地看出，两者之间的异同。

表五  《太初历》第一篇历术数表

序   一章岁   二章岁  三章岁  四章岁
01  01.00   40.61   20.41   60.21
02  55.30   35.10   14.71   54.51
Ⅰ  49.60   29.40   09.20   49.00
04  13.52   53.32   33.12   12.73
05  08.01   47.62   27.42   07.22
Ⅱ  02.31   42.11   21.72   01.52
07  26.23   06.30   45.64   25.44
08  20.53   60.33   40.13   19.74
Ⅲ  15.02   54.63   34.43   14.23
10  38.75   18.55   58.35   38.15
Ⅳ  33.24   13.04   52.65   32.45
12  57.16   36.77   16.57   56.37
13  51.46   31.26   11.06   50.67
Ⅴ  45.76   25.56   05.36   45.16
15  09.68   49.48   29.28   09.08
16  04.17   43.78   23.58   03.38
Ⅵ  58.47   38.27   18.07   57.68
18  22.39   02.19   41.80   21.60
Ⅶ  16.69   56.49   36.29   16.09

　　4、  推冬至：历元首岁，冬至与历数（以下简称“冬朔”）同日同时。由历元往后，每岁加5.08，小数32进位就行了。按上述办法，列第一篇四章岁冬至表于表六：

  表六　　第一至第四章冬至表

序　　 一章   二章　　三章   四章
01　　01.00  40.24   20.16  60.08
02　　06.08  46.00   25.24  05.16
03　　11.16  51.08   31.00  10.24
04　　16.24  56.16   36.08  16.00
05　　22.00  01.24   41.16  21.08
06　　27.08  07.00   46.24  26.16
07　　32.16  12.08   52.00  31.24
08　　37.24  17.16   57.08  37.00
09　　43.00  22.24   02.16  42.08
10　　48.08  28.00   07.24  47.16
11　　53.16  33.08   13.00  52.24
12　　58.24  38.16   18.08  58.00
13　　04.00  43.24   23.16  03.08
14　　09.08  49.00   28.24  08.16
15　　14.16  54.08   34.00  13.24
16　　19.24  59.16   39.08  19.00
.17　　25.00  04.24   44.16  24.08
18　　00.08  10.00   49.24  29.16
19　　05.16  15.08   55.00  34.24
______ _________________ 40.00

　　上表末尾冬至数40.00为第五章岁的“冬至数”，比历元岁大整39。由此可此，以下各年的冬至数，可将表五所有各“冬至数”加39，便依次成为以下第五至第八章岁的冬至数了。

　　5、 推公元年号元月1日（简称“元旦日”）对应干支：参见《遗世历术宝典〈历术甲子篇〉解读》  附件二 ：《公元日期干支的推算》。下录其中表一份，以便编元旦日干支。

表七　　《儒略历》元旦日干支八十顺序表
(年号除以80余数对应干支)
纵行 ：余数十位数　　　　　　 (↓公元前 / ↑公元后 )
横行 ：余数个位数　　　　　　 (→公元前 / ←公元后 )
\\  0/- 1/-2/9 3/8 4/7 5/6 6/5 7/4 8/3 9/2-/1-/0
0/7 丁丑辛未丙寅辛酉丙辰庚戌乙巳庚子乙未己丑甲申己卯
1/6 甲申己卯甲戌戊辰癸亥戊午癸丑丁未壬寅丁酉壬辰丙戌
2/5 壬辰丙戌辛巳丙子辛未乙丑庚申乙卯庚戌甲辰己亥甲午
3/4 己亥甲午己丑癸未戊寅癸酉戊辰壬戌丁巳壬子丁未辛丑
4/3 丁未辛丑丙申辛卯丙戌庚辰乙亥庚午乙丑己未甲寅己酉
5/2 甲寅己酉甲辰戊戌癸巳戊子癸未丁丑壬申丁卯壬戌丙辰
6/1 壬戌丙辰辛亥丙午辛丑乙未庚寅乙酉庚辰甲戌己巳甲子
7/0 己巳甲子己未癸丑戊申癸卯戊戌壬辰丁亥壬午丁丑辛未

  表八   公元前各年元旦干支：

104/08，103/13，102/18，101/23，100/29
099/34，098/39，097/44，096/50，095/55
094/60，093/05，092/11，091/16，090/21，
089/26，088/32，087/37，086/42，085/47，
084/53，083/58，082/03，081/08，080/14，
079/19，078/24，077/29，076/35，075/40，
074/45，073/50，072/56，071/01，070/06，
069/11，068/17，067/22，066/27，065/32，
064/38，063/43，062/48，061/53，060/59，
059/04，058/09，057/14，056/20，055/25，
054/30，053/35，052/41，051/46，050/51
049/56，048/02，047/07，046/12，045/17
044/23，043/28，042/33，041/38，040/44，
039/49，038/54，037/59，036/05，035/10，
034/15，033/20，032/26，031/31，030/36，
029/41，028/47，027/52，026/57，025/02，
024/08，023/13，022/18，021/23，020/29，
019/34，018/39，017/44，016/50，015/55，
014/60，013/05，012/11，011/16，010/21，
009/26，008/32，007/37，006/42，005/47，
004/53，003/58，002/03，001/08，

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表九　　公元后各年元旦干支表

001/14，002/19，003/24，004/29，005/35，
006/40，007/45，008/50，009/56，010/01，
011/06，012/11，013/17，014/22，015/27，
016/32，017/38，018/43，019/48，020/53，
021/59，022/04，023/09，024/14，025/20
026/25，027/30，028/35，029/41，030/46，
031/51，032/56，033/02，034/07，035/12，
036/17，037/23，038/28，039/33，040/38，
041/44，042/49，043/54，044/59，045/05，
046/10，047/15，048/20，049/26，050/31，
051/36，052/41，053/47，054/52，055/57，
056/02，057/08，058/13，059/18，060/23
061/29，062/34，063/39，064/44，065/50，
066/55，067/60，068/05，069/11，070/16，
071/21，072/26，073/32，074/37，075/42，
076/47，077/53，078/58，079/03，080/08，
081/14，082/19，083/24，084/29，085/35
086/40，……………………………………

　　（本文原为国学论坛先秦版 “先秦两汉历法研讨”之至。整理为文稿稿完成于2004年1月10日 。二稿修订完成12月6日，于武昌梨园）

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作者 七秩龄童
转自 华夏复兴论坛

序　　言
司马迁巨制《史记》中有一篇，也是唯一的一篇与众不同的奇文。奇文之奇，除了满纸数码，用的全是行业术语之外，还夹着一组有音无义需要破译的“密码”。暴看起来这本书像数命玄书，又像不让世人轻易破读的武功秘籍。其书名曰：《历术甲子篇》。
近世学者张汝舟苦守“二毋”书斋，潜心古代历法，集成果于其遗著《二毋室古代历法论丛》。张氏研究揭示：《历术甲子篇》竟然是由司马迁悉心、原貌、完整保存，幸得以留长传远的，属于古四分历的历术宝典。张氏称之为“遗世宝书”。
兹再为文，实因张氏遗著付梓之时，知识尚不被尊重，正如《西游》借佛祖言：这“经”当日贱卖了。余曾一睹张氏文，心动怦然，经久萦怀。久之亦有参悟，希冀一吐为快。或以能继承经世之绝学，宏扬国故精粹，引为快慰。本文立足点于容易为人忽视，且常不为见及之处，道鲜为道及之语，另涉及一些与名家定论相左的另见。

○　　从《殷历》说起
中国传统历法中，对于“殷历”从来就包含两个不同的含意。其一是夏、商、周三代中属于殷代使用的历谱或是历书。但是这样的历谱或是历书至今尚未发现（寄希望于考古新发掘！）；因为所有关于那一时期历纪的史料虽然有一些，但只能算是由观象留下来的授时记录。另一则是由《汉书·律历志》明确记载的《殷历》。这是一份成文的历书或是兼有历谱性质的历书。其书虽然现在已经失传，但存于《汉书·律历志》，由刘歆录于其著作《三统历谱》中，系统引用而且点明是《殷历》的处所不少，其史料是极其珍贵的。研讨先秦历法，解读《历术甲子篇》奇文，必要求对其有一个较全面的了解。
先说《殷历》书名的确有。据《汉书·律历志》记载，汉武帝颁行《太初历》以后二十七年的元凤三年（西元前78年），太史令张寿王上书对《太初历》发难。由于大多数参加者坚持“历本之验在于天”，由实践检验《太初历》颁行二十多年来（比其它历书）更符合于天象，经过历时三年的大讨论，“是非坚定”，太史令张寿王以“下课”告终。在讨论中，众人提到张寿王持在手中的“乃太史官《殷历》也。”说明先秦存于史官确实有一本名为《殷历》的历谱或历书。
上书接着说：“至孝成之世，刘向总六历，列是非，作《五纪论》。子刘歆究其微眇，作《三统历》及《谱》以说《春秋》。”《三统历·三统历谱·世经》就是在总结太初制订历并法以“历”带“史”的一部大著作。
三统历谱的一元岁为4617岁。一元岁分为三统岁。于是每统岁则为1539岁。为了适合太初元年（西元前104年）作为“本元岁”一元复始之年的要求，刘歆令距离西元前104年1539年的那一年，为上元岁的“孟统”即第三统的开端。又以19岁为一（闰）章之岁，即从104 +1539 = 前1643年为始，共编81章岁首子月朔日干支作为历谱。
本文用序码1－60与“六十甲子”的甲子至癸亥相对应。如：1表甲子，60表癸亥，等。用六十甲子顺序数码表示的“孟统”谱的干支码列于附表一：
表一 《三统历》孟统八十一章岁历谱
21——60—40—20—60※⑴39—19—59—
39※⑵18—58—38—18※⑶57—37—17—
57※⑷36—16—46—36※⑸15—55—35—
15※⑹54—34—14—54※⑺33—13—53—
33※⑻12—52—32—12※⑼51—31—11—
51※⑽30—10—50—30※⑾09—49—29—
09※⑿48—28—08—48※⒀57—07—47—
27※⒁06—46—26—06※⒂45—25—05—
45※⒃24—04—44—24※⒄03—43—23—
03※⒅42—22—02—42※⒆21—01—41—
21※⒇→入太初本元首章－01…（前104年：太初元年）。

表中数码符※之后带括号的数字，是刘歆在其《三统历谱· 世经》上附注的《殷历》的“蔀”岁序，并且逐一标上了《殷历》同一天的日干支。因为其干支码正好是《三统历谱》干支顺序码加“1”，所以可以省去再标的手续。也就等于由刘歆为后人留下了《殷历》的一份同期历谱表。从上面的数据中，将属于《殷历》的历数，即每蔀岁首日干支和相应的西元年份，逐一摘出，可得另一专属《殷历》的历数表，列于表二：
表二 《殷历》二十蔀岁首日干支表
　 （ 西元前年号·蔀岁序号 · 首月朔日干支）
年号蔀序干支 年号蔀序干支 年号蔀序干支 年号蔀序干支
1567·01·01 1491·02·40 1415·03·19 1339·04·58
1263·05·37 1187·06·16 1111·07·55 1035·08·34
0959·09·13 0883·10·52 0807·11·31 0731·12·10
0655·13·49 0579·14·28 0503·15·07 0427·16·46
0351·17·25 0275·18·04 0199·19·43 0123·20·22

由表二摘出的《殷历》历数列表，可以窥测出：
1、本蔀岁首日干支序码，就是上一蔀岁首日的干支序码加39之后除以60的余数。用传统的“六十甲子”表达方式可以叙述为：本蔀岁首日干支由上蔀岁首日干支往下推三十九位。
2、已知“古四分历”蔀岁的日参数取为27759平太阳日。27759÷60＝462…39。上面的结果变句话表述：古四分历一蔀岁长462甲子另39 日。两者比较，可以看出《殷历》推历的根据与“古四分历”一致，《殷历》的历算根据用的正是“古四分历”。据此，可以初步认定：《殷历》不是完成于殷代，也更不是殷代帝王使用的“时王之术”。因为在殷代，凭肉眼观察天象，即或能够达到如此的高精度，也没有证据证明在一千多年的时间长度里，能同时达到与“古四分历”规则如此合步的程度。
下一步，我们用现代的知识将《殷历》数据距密近天象的程度，列出上面20个历点的误差（以天为单位）如附表三：
表三 《殷历》二十个历日历点误差　 （单位：天）
01 －3.75， 02 －3.50， 03 －3.25， 04 －3.00， 05 －2.75，
06 －2.50， 07 －2.25， 08 －2.00， 09 －1.75， 10 －1.50，
11 －1.25， 12 －1.00， 13 －0.75， 14 －0.50， 15 －0.25，
16 ±0.00， 17 ＋0.25， 18 ＋0.50， 19 ＋0.75， 20 ＋1.00。

如果用定朔概念来分析《殷历》的误差，其结果可能略有不同，但无关以下结论：
1、《殷历》的误差呈线性；
2、历数与天象的误差值，有，且只有一个交点。交点在《殷历》第十六蔀蔀首，即西元前427年；
3、前于交点的误差带负号，后于交点的误差则带正号。
从上面说的三条关于误差的“结论”，可作如下的分析：《殷历》的误差是有规律而不是呈零乱带偶然性的。它与密近天象的冬朔时间有唯一的交点，说明这一时间极可能是《殷历》文献完成的年代，至少也是以此期间天象完成的著作；而其误差呈前负而后正，则给予了《殷历》正是完成于这一时期的充份证明。由以上分析，可以完全确定，借名殷代而实际完成并实施《殷历》的时间当是在第十六蔀首岁的年代，合西元前427年。其时为周考王（前440—426）十四年。因此，可以肯定：《殷历》是完成于战国初年用于授时的中国第一部成文历法文献。

一　《历术甲子篇》历数表
《历术甲子篇》主文为时间长度一蔀岁，即76岁的历算数据，含其每岁首月（夏历岁前十一月）交朔和冬至的具体交节时分。今按现代的表述方式，译其“历数”列于表四：

表四 《历术甲子篇》甲子蔀历数表

序号 Ⅰ章岁 Ⅱ章岁 Ⅲ章岁 Ⅳ章岁
01— 01.000 40.705 20.470 60.235
02— 55.348 35.113 14.818 54.583
闰Ⅰ 49.696 29.461 09.226 48.931
04— 13.603 53.368 33.133 12.838
05— 08.011 47.716 27.481 07.246
闰Ⅱ 02.359 42.124 21.829 01.594
07— 26.266 06.031 45.736 25.501
08— 20.614 60.379 40.144 19.849
闰Ⅲ 15.022 54.727 34.492 14.257
10— 38.869 18.634 58.399 38.164
闰Ⅳ 33.277 13.042 52.747 32.512
12— 57.184 36.889 16.654 56.419
13— 51.532 31.297 11.062 50.767
闰Ⅴ 45.880 25.645 05.410 45.175
15— 09.787 49.552 29.317 09.082
16— 04.195 43.900 23.665 03.430
闰Ⅵ 58.543 38.308 18.073 57.778
18— 22.450 02.215 41.920 21.685
闰Ⅶ 16.798 56.563 36.328 16.093

说　明　：
1、上表共四章岁，每章岁1 9岁，每岁列其建子之月（夏历岁前十一月）历朔数一个。共7 6个数据，为一蔀岁的冬朔历数表。表左示冬朔数在章岁中的序次。其中夹着带“闰Ⅰ、闰Ⅱ、闰Ⅲ、闰Ⅳ、闰Ⅴ、闰Ⅵ、闰Ⅶ”示横行四年都是该章岁的闰序之年，罗马数字表其为一章岁中的第几闰年。
2、每个数由两部分合成：间隔点前面数1至6 0，为了整齐，1至9书为“0 1”、“0 2”…等，称为“大余”；意思是日期的“余”数，即是以序数表示的朔日干支。对应于六十甲子顺序。间隔点后面的数称为“小余”，是以日9 4 0分为分母时的日分。中间的间隔点，也可以呼为“小数点”，但须记住，其“小数”是9 4 0进位的，在计算时，足9 4 0分，才向前“进”大余1。
3、表上数字，为了照顾今人的阅读习惯，除了将原书“六十甲子”的顺序，依次如甲子“0”升为“1”，乙丑“1”升为“2”等之外，其余数字与原书核对无误。

二 《历术甲子篇》历理为古四分历
1、蔀策：由表四推《历术甲子篇》“蔀策”：表上第一个数表示的是“甲子蔀”首日的日干支和交朔时分，为1. 000，即甲子日夜半子时零分。表上最末位，即序号17（闰Ⅶ）与纵行第Ⅳ章岁交点上数为16. 093，表示本蔀岁第76年首日于己卯日93分交朔。若能推出这一年的下一年的同月交朔日时，则本蔀岁76年的天数也就推出来了。
本蔀岁末年在章岁的第七闰上，是值闰年。这一年有多少天？表四序号1 1（闰Ⅳ）与纵行第 Ⅱ 章岁交点上的历数13.042，以此作对比参照。查13.042数的下一年为36.889，以36.889－13.042 ＝ 23. 847。借用此数与前述16. 093相加，则得知甲子蔀下一蔀岁交朔首日为40. 000。本结果与表二对照，（01/1567· 01；0 2/1491 · 4 0；）可得《历术甲子篇》蔀策，一蔀岁循环462甲子零3 9日，即蔀策为6 0×4 6 2＋39 ＝ 2 7 7 5 9天。
2、年策 ：《历术甲子篇》“蔀策”既为27759天，以7 6除之，可得年策为3 6 5 . 2 5天。
3、月策：因为一蔀岁含正（正副的正）月1 2×7 6＝9 1 2（月），另外，加上四章（闰）岁7×4＝2 8（闰月），相加可得一蔀岁有9 1 2 + 2 8 ＝ 9 4 0（月）。以9 4 0除以其天数27759（天），得月策为2 9. 4 9 9天（2 9 . 4 9 9／9 4 0天）。
4、日分：为了便于推历计算，日分数以9 4 0为分母；也就是说，古历家在《历术甲子篇》中的“阴历”部份，是以日分为9 4 0分为日分量“小余”的计量单位。
由以上四个推算结果可知，保存于司马迁《史记》中的奇文《历术甲子篇》和《殷历》同是以西元前4 2 7年实际天象的数据完成的，是同一历法文献的不同用途的两份文件。其历理同为古四分历，《历术甲子篇》为历术的数表，《殷历》为历谱和用于授时的历书。三者一体，互为里表。
以上引出研讨的只是《历术甲子篇》一半“历术数”，只属于古四分历的“阴历”部分。其另一半数据为同岁冬至的日干支和交节的日分量，是古四分历的“阳历” 部份。古四分历的历理认定，每章岁的岁首，冬至与交朔不但同日，而且同时，称为“朔旦至”。粗略计之，一章岁首为甲子日的子时；二章岁首为癸卯日的酉时；三章岁首为癸未日的午时；四章岁首为癸亥日的卯时。精确表示则依次为0 1. 0 0；4 0 . 2 4；2 0. 1 6；6 0. 0 8。请注意，这儿的“小余”即冬至交节的日分量是以3 2为分母的。来源于一岁有二十四节气，其两个节气间的平气间距为：365.25÷2 4 = 1 5日7/3 2分。由此可知，古四分历的日分量是以9 4 0为分量还是以3 2为分量，完全出于方便于实际计算的需要。由上也知，按古四分历安排，岁中每个中气的“气距”为30. 14／3 2天，而且从章岁首日往下，每加冬至数5天另8／3 2日分，即依次可得其每一岁的冬至交节日干支和交节日分。是个定数，因此，表上从略。
古四分历大于年的时间单位有章、蔀、纪、元。以1 9岁为一章岁，因为1 9年安排7闰，以1 9年为一闰轮往复循环，所以又称之为“闰章之岁”。四章岁为一蔀岁。蔀策27759日，为古四分历的基础。以下以20蔀岁为一纪岁。一纪岁为1520岁。再以三纪岁为一元岁。一元岁4560岁，等于56400朔望月，等于1665540天，以上三数，都没有日分量，而且都是6 0甲子的倍数。因此，按古四分历的推算，设由甲子年甲子月甲子日甲子时起始，经过一元岁即历4560岁之后，将仍复回到以上的甲子年甲子月甲子日甲子时，说明古四分历是自圆其说的，故有“一元复始”的说法。《殷历》是从甲寅年甲子月甲子日甲子时开始，(西元前1567年岁前十一月朔日甲子夜半子时)，所以《殷历》和《历术甲子篇》都称之为“甲寅元”。按以上说法，要到西元2994年，才是旧一元岁的一元复始之年!

三　用《历术甲子篇》数据推历
中华文明积累的知识成果，向例看重师承授受。在处理文字书写不便，或是为了保护成果利益的需要，往往将其精髓真谛留在心志口说，传承点化。中华历法自传说中的黄帝以降，分出部份人“勤劳心力耳目”（司马迁语）以来，即有家世相传的“畴人”“咸正历纪”，也就是历人以职业世袭。保存于《史记》中的《历术甲子篇》，就明显有上面所说的特色，至少不是一篇完整的“论文”；因既称为“历术”，却只有一份完整数据，而缺“术要”，也就是没有具体使用数据的方法。不过，老祖宗（我猜想流落民间的历家落下闳功居第一，司马迁功并列第一！）既将一份数据完整地传了下来，今人就凭这张完整的数据，不难全数破读开来。张汝舟氏即作了全文破译。兹再重述，亦加新得：
（一）蔀　法
表四数据中的“小余”，7 6年周而复始，即间隔号后面的小数部份是过了7 6年再重复使用的。说起来，该历数表有点像三角函数表只列角度9 0度以内而通用于任意角一样。但其“大余”数，即历数的整数部份，却只适用于其“甲子蔀”，所以文题《历术甲子篇》。若这么一份表，只能适用于一“蔀” 岁，又何得称为“历术”？既要通行于推历，先得知“蔀法”。蔀法其实非常简捷。对表二的《殷历》数据分析为：“本蔀岁首日干支由上一岁首日干支往下推三十九位”即得；此数“39”，为定数。若需将表四的数表用于哪一蔀一年限，只需将该蔀首日干支减去1遍加在表四的所有大余数上，就成了新的蔀岁的历算数表。
例题1　试编西元前199—前124年历朔数表？
查此年限属于表二中的第1 9蔀，数为“1 9／0 19 9·4 3”，知其首日干支为丙午（4 3）。由4 3 － 1＝4 2，知4 2为丙午蔀的“蔀余数”。将表四的“大余数”通加4 2，则可得第1 9蔀7 6年的历数了。（参见文后附件一的历表4）
下附蔀法歌诀一首，以助记忆。
蔀策二七七五九，朔、至夜半逢蔀首。
纪首起历甲子一，蔀 尾 壬寅三十九。
三九定数立蔀余，首 余 相加往下走。
一元三纪六十蔀，一 元 复始重头数。
（二）月　法
设本月历朔数为Ｒ0　 ，推下一个月的历数Ｒ1 ，可由下式表示：
Ｒ1＝Ｒ0　＋ 29.499
仅须注意，此历数的“整数”是用60循环制，而“小数”采用的是940进位制，就可以方便地进入程式了。
● 今人学古人进行历算“推步”，仍然“遵古炮制”，要分三步“走”：1)、先看本月交朔日分的时间，并且要先以日分441分界定本月月大还是月小。2)、若本月交朔的日分不足441分，确定本月为月小，只有29天。推步时，则“大余”加29，小余加499分，得数为下一个月的交朔日的历数。3)、若本月交朔的日分等于或大于441分，确定本月月大，有30天。推步时，大余加30 (即朔日干支往下移30位 )，小余则减 441分，得数亦为下一个月的历数 。上面己 “走完了” 三推步 ，还得再加一个 4)、颇费唇舌来详细解说为什么要用441分来“规定”为月大30天和月小29天的“界限”？用文字来解说，左想右想也只好一边执行，一边领悟。
引入的进位概念，使用上面公式，不必先看本月交朔“小余”的日分，判定本月有多少天，“推步”程式化，计算一步到位。理由简明。至于本月有多少天，对照先后两个月的朔日干支，就一目了然了。
由于月平均历日只29天半（29日470日分），与月策相较，余29分；因此每积十五个月左右，积分够半日，其月将连着两个月月30日，称之为“连大月”。例如某月历朔数小余等于或大于882分时，比如正好是882日分：第一次加日分499分，得1381分，日分进位以后成为1．441。下个月的日干支加29再加1，也就是向后推移了三十位，本月该月大。余下的日分441分，加499分，进第三个月，得940分，进位后就成为1．000。如是第三个月的日干支加29再加1，也同样向后移三十位，第二个月也连着月大。就造成了两个月月大的“连大月”的条件了。按古四分历历理，有两个月连着30天之后，不可能连着再次出现第三次30天。这是古四分历与定朔定月大与月小最大的区别之一。进一步分析上面提供的公式，还可以肯定一条：古四分历不会连着有两个月都是29天的机会。这也是与定朔定月大与月小的区别。
今人对古历有两个误会。其一是以为古历月大月小相间，往复循环；其二是因古历以大余29日小余499分为月策，以为这就是月大或月小的“标准”。由上分析知其否。再则，有一个古人大概也不甚明确交待的“模糊数”：这“小余”数如果是“0”，这“零点”的时间是置于夜半十一时，还是十二时？以今之世人（包括对汉文化有兴趣的外国人）咸以午夜十二时为0点，今历也以此为标准定交朔、交节的日期。古人“子时”，包括甲子、丙子、戊子、庚子、壬子五个子时，当都是从今人标准的夜半十一时开始的。
还有一个连历家们也不甚了然的词义：即“朔旦冬至”一语，历家们也多以“朔旦”为日出生光之时为日之始。就用古四分历的历数核之，当以甲子0分时刻为宜。至于古四分历理论未确立之前，古人以“何时为日之始？”则又当别论!
下附月法歌诀，作玩味消遣。
日法九百四十分，月策四百九十九。
大余月加二九日，小余月加四九九。
两月相加五八日，历月余分二十九。
积足余分连大月，推十五月知其有。
例题2 试以上面交待的月法推汉惠帝元年（前194年）的月朔历谱？
分析：由附件一表4（丙午蔀）查西元前194年为丙午蔀第一章岁的第六年，表上第一栏与“闰Ⅱ”交点上，得其历法首月（夏正岁前十一月）历数为4 4. 3 5 9。汉初用秦历，以夏正十月为岁首，但月名仍为十月、十一月不变。其时闰月均排在其岁末，称“后九月”。因此本题只推月朔，不涉及“闰法”。为合“汉历”，需用44.359先反推出其年十月的历朔数，为44.359－30.000+0.441 = 14.800.
有了汉惠帝元年十月的历朔数14.800，可以依“月诀”排表如下：
十月/14.800（丁丑）；十一/44.359（丁未）；
十二/13.858（丙子）；一月/43.417（丙午）；
二月/12.916（乙亥）；三月/42.475（乙巳）；
四月/12.034（乙亥）；五月/41.533（甲辰）；
六月/11.092（甲戌）；七月/40.591（癸卯）；
八月/10.150（癸酉）；九月/39.649（壬寅）；
后九/09.268（壬申）。
十三个月月大月小依次为：大、小、大、小、大、大、小、大、小、大、小、大、小。本年二月12. 916（乙亥）、三月42. 475（乙巳），由916 － 441 = 475 得来。二月朔乙亥，三月朔乙巳，四月朔乙亥，连着二、三两个月都有30天，故本年二、三月为连大月。
上推与江陵张家山新出土竹简载汉惠帝元年“八月癸酉朔”，“九月壬寅朔”，“后九月壬申朔”一致。
(三) 闰 法
推闰法以刘歆说的较简捷。他的说法是，从章首岁始，岁给“闰分”7分，岁初积闰分12分及以上，本岁值“闰”；月闰分为7÷1 2 = 0. 5 8 3…分，加上岁初的“闰分”，满1 9分后安排闰月。这是历法置闰于“没有中气月份”的开始。按上面的办法，可以逐一排出章岁序的第三、六、九、十一、十四、十七、十九共七个年份为值闰年，如表四和表六。此结果与用古四分历理详推的闰月值闰年份一致。故从略。
为节省文字，下续闰法歌诀，供详参：
七闰十九成章岁，三六九一四七九。
岁给闰余加七分，十九排闰销十九。
当值闰年闰何月？十二除七补差数。
若问闰年多少天？九十三分看历数。

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（四）岁　法 （ 诀 ）
纪首起历甲子行，三五四日常年型。
大余减六得次岁，小加三百四八分。
小余若过五九二，三五五日记分明。
只减五日得下年，岁之末月连大生。
闰年推日依闰法，小加八百四七分。
此为岁法之要诀，若识蔀余万年通。
古四分历有四种年型：从历数小余分多少（日分）判之：
① 5 9 1分及以下，为常年型。年3 5 4日，十二个月，六大六小，大小相间。
② 5 9 2分及以上，为连大月型。年3 5 5日，十二个月，七大五小。若刚好为5 9 2分，连大月在岁末；依超分多少，连大月位置按比列前移。
以上常年型，历数大余减6，小余加3 5 4分得其次岁历数；连大月型，则大余减5，小余加3 4 8分，得次岁历数。
③ 闰年9 3分及以上，为闰常型。年3 8 4日，七大六小。大余加2 4，小余加8 4 7分，得次岁历数。
④ 闰年9 2分及以下，为闰特型。年3 8 3日，六大七小。大余加2 3，小余加8 4 7分，得次岁历数。
例题3：已查得汉刘邦七年（前200年）历数为19.093。试排其年月朔历谱？
历数1 9. 0 93为刘邦七年十一月的历数，依例题（2），反推其十月历朔数为19. 093+30. 000+441=49. 534。以下排表：
十月/49.534（壬子）；十一/19.093（壬午）；
十二/48.592（辛亥）；一月/18.151（辛巳）；
二月/47.650（庚戌）；三月/17.209（庚辰）；
四月/46.708（己酉）；五月/16.267（己卯）；
六月45.766（戊申）；七月/15.323（戊寅）；
八月44.824（丁未）；九月/14.383（丁丑）。
（十月丙午43. 882；十一月丙子13. 441，十二月丙午43. 000）
分析：
① 本年在附件一表3丁卯蔀（18 ／0275· 04）末岁，其历数由表四查知为16. 093+3. 000 =19. 093。本为值闰年，小余9 3分，为闰年常型。按汉初用秦历。依《殷历》，当闰表上括号中的十月，十一月应为十月。如此，则表括号中十二月历数43.000应为十一月，即下一蔀首的历朔数。因闰殷历的十月 ，实际上己 进入次一年(正月)，所以汉历移此闰于当年（前199年）岁末，即闰后九月，才变为上表的样子。
② 汉历本年闰月虽有变动，不影响其余月份。新出土的江陵张家山汉初竹简载汉高祖七年十月壬子朔，十一月壬午朔，十二月辛亥朔，与本历表合。
③ 从十月49.534算起，求括号内次年十月历数，得49.534－6.000 + 0.348 = 43.882，与表上括号中的43.882合。
(五) 节 气 法（ 诀 ）
历以中气系月名，十二中气应历生。
历算冬至在冬月，章首朔至同时分。
气距三十又十四，节距十五加七平。
岁法只列冬至日，岁加五日又八分。

① 中气月名的对应：（月序依夏正）十一月/冬至；十二月/大寒；一月/雨水；二月/春分；三月/谷雨；四月/小满；五月/夏至；六月/大暑；七月/处暑；八月/秋分；九月/霜降；十月/小雪。
② 按四分历，从冬至月开始作为岁始；因为在章首之岁，同日同时交朔交节。以下按平气算，节距为十五日又三十二分之七分，气距则为三十日又三十二分之十四分，依此往下排二十四节。但在历谱上一般只需一年（岁）出一个冬至数，则只需知冬至岁距为3 6 5又8 / 32日。又因为3 6 5除以干支数60的余数为5，所以往前推历，只需岁加“五日又八分”。
以上历理赅备，精研之，当能融会贯通。

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四　《历术甲子篇》是国之瑰宝
《历术甲子篇》是上古时间以千年计积天文观测、历算实践基础上进行的中国古人智慧的结晶，也是具有时代意义的、科技含量最高的第一份历法成文总结。
1. 文字是文明的载体；好像身体中输送养料的血液。历纪则是贯穿文明的系绳，比之如身体中的经穴脉络，文明得靠历纪来举张其精、气、神。历纪与文明两者不能相离须臾。
2. 中华历法正本源，首当归功于识数千年的天文观测实践中经验的丰富和资料的积累。天上两个巨大的天体——太阳和月球的运行与生活固然息息相关，但若要上升为理性的认识，成为能观象授时的历象，必须有一种能动的思想，将长期感性知识转化为历法的意义才行，这样才能“起消息，正闰余，以闰月定四时成岁”，达到 “齐远近，立民信”的功能。
3. 从进入炎黄时代，中原大地早已不是浑浑噩噩，任由大自然主宰的状态了。黄帝轩辕氏，那是标示以车战为战争工具时代的开始。师古曰：“轩，轩车也。”黄帝时代，据司马迁极有分寸的文字传说，已有了初级政权形式和职业作战的军队，已由骑牛挽车进步到进行马战和车战。生产力方面已能分出部份人测量土地，规划道路，治水筑城，种植百草和驯化鸟、兽、昆虫（养蚕，也许还有养蜂收蜜）。这时还能抽出少量人“勤劳心力耳目”，有了专职从事脑力劳动的若干职业，其中包括世袭以历纪为业的“畴人”。
4. 太阳热生光，在系统中属于主动一方，属“阳”；月亮被动受光，属阴。《幼学》：“日为众阳之宗，月乃太阴之象。”古人把这两大天象的周期性变化，看作是天地间最具代表性的矛盾对立统一，作为“观象授时”的主要观测对象。中华历法的目标就是研究它们两者变化运动周期的和谐节奏。
5. 由长期观象资料的积累产生的认识上的突破，得出76岁含27759（平太阳日）天，为古四分历岁策365.25天和月策29又940分之499天的共同节奏（最小公倍数），是西元前427年古四分历历理得以创立，托前代名义编制的《殷历》得以制订实施，历术数据表《历术甲子篇》得以师承相传的关键之年，因此也是中华文明史上最具辉煌的一年。
6.《历术甲子篇》系统提供的76组共304个历算数据，运用了十进位、十二进位、十九进位、三十二进位、六十进位和九百四十进位等六种以上进位制的混合运算。表上数字正确干脆，无一舛错。难能可贵的是，这些极为繁复的算术运算，完全是运用极为初级的“筹算”和心算方法进行的。稍一失慎，即会出现很难发现的舛错。因此，古历纪记载中常有一些出格的错失，往往可能出在历算环节，是应该理解和顾及其发生的可能。其时历算达到的误差精度，就地球绕日运行76年实长27758.4067日而言，浮0. 5933日，年浮只0. 0087日，其成就已经领先世界三百多年；若就月球运行940周为27758. 75272日而言，76年则只 后 天0. 24728日，平均年浮仅0. 0032537日。按日分940日分而论，年浮只3. 058463日分，比古四分历名义上的误差还要小2.67倍！其达到的精度水平，其成就实在是蔚为观止。
7.《史记·历书》开篇即说：“昔自在古，历建正作于孟春。于时：冰泮发蛰，百草奋兴，子归先嗥。物乃岁具，生于东，次顺四时，卒于冬分。”——文意是说：春天冰融解了，冬眠和蛰伏的动物活动了，植物竞相生长，子归鸟儿也先叫了起来。万物一年一度，从春天开始，顺着四时，尽于冬季。因此历法的一年也从春天开始，终于冬末。——中华古历法尚处于萌芽雏形时，以目见新月生明放光（胐fei4）为月之首日，以万物苏生的春天为年之始是很自然的。后来由于经验的丰富，历法的进化，以“日南至”，也就是日影最长的这天为“冬至”；以含冬至的月份为岁的首月，作为历算的岁始，同时也开始以之作为历法一年的开始，则首先是代表了人们对历法认识的深化和进步。这些，似乎与后人认为的与五行相生相克，历用三正等，并无必然联系。“朔”，“逆”（迎）月生光之意。此字始见于《诗·小雅·十月之交》：“朔日辛卯，日有食之”。此诗记的是西元前776年的一次日食。查此年为周幽王六年，十月（夏历八月）定朔为辛卯，知所记无误。因此至少在此年间，月初即以“朔”代“胐”了。
8. 据《史记》和《汉书·律历志》记载的说法，由于家业世守相传的史官在周朝后期失业了，原来由一脉师承相传的，精于推历的子弟们四散“自谋职业”，于是其在诸侯方国所记五花八门，有“黄帝、颛顼、夏、殷、周及鲁历”。以上即“古六历”的出处。其实六历中，古籍有据仅《殷历》和《颛顼历》。其中《颛顼历》虽曾由秦献公于前366年颁行，但真正用于记史，则在秦始皇统一六国之后，执行至汉武帝太初（前104年）改历为止。因前366年干支乙卯，故历家称《颛顼历》为“乙卯元”。总之，先秦之时，无论历法用了多少种名目，由于都源出于一个师门，只有岁首月份的不同，而无历理的任何区别，因此由祖师爷授受相传的历术宝典《历术甲子篇》，仍处于至高无尚的地位。

五　《历术甲子篇》的精度和实用年代
1. 先秦学者以为古四分历是完美无比，可以上穷亘古，下推万年。汉成帝（前32—前7）时，楚元王的四世孙经学家刘向“总六历，列是非，作五纪论。”刘向的儿子刘歆则子承父业，精究历术的细微，作《三统历》及《三统历谱》，用以解说《春秋》经传。《汉书》作者班固认为其“推法密要”，将刘歆的学说完整记载于史，得以流传至今。由于刘歆的详尽记录，为我们留下的大量极其可贵的史料。唯其犯了个根本的错误，则是他以一把只有一定精度水平的历史尺子，却认定为“足赤纯金”，来裁定历日。比如以三统历断武王伐纣开国的年代为前 1122年，就遗下至今纷争的无穷后患。
2. 前已提出，古四分历历理，《历术甲子篇》“术数”，和《殷历》作为历书和历谱是互为表里，三位一体的“历”史文献。三者经计算与天象实际，就朔望月而言，平均年浮仅0.0032537日。即年平均达1日误差的年数为：1÷0.0032537 ≈ 304（年）。因此用以前427为与天象密合的原点，用《殷历》数据推步历日，前后各三百年之内，其误差都不会超出一日之外。但因为我们已经初步证明，《殷历》实施于前427，而止于前104年，故只以此期间324年作为其具体使用的年代应是有根有据的。

六 《殷历》可以奉为秦汉之际历法的主参照线
本文立论以《殷历》为秦季汉初历法主参照线的理由归纳于下：
1、《殷历》是托名前代而完工成于前427年的，中国第一部成文历法。它的历理基础是古四分历，历术数所据为古四分历宝典《历术甲子篇》。
2、 宝典《历术甲子篇》是完成于《殷历》同一时期，以当时实际天象为准，由当时的历算专家完成的精度很高，推算准确的专业著作。其无价可贵处在于幸由司马迁的廋藏，得以原貌完整传世至今，使我们得以一睹上古中华文明的辉煌。据张汝舟氏遗著《二毋室古代历法论丛》的精心研究，得出的结论是：若给予 少许修正，用其数据下推至二十世纪，仍与天象及历书密近相符。因此，用于当时的历算，在其精度水平下，是完全可靠的。
3、更重要的是：由汉初记载的一系列日食发生于晦日的文字，完全符合以《殷历》为主轴线实施三百二十四年间未作修订的实际。本文上举一系列历点资料，可以窥其梗概。（因已编《补修〈殷历〉朔闰谱》，本文系列历点资料略）
4、以《殷历》为秦汉之交各种历谱的参照线，意在强调在此期间《殷历》占据着主流意识的地位。由于当时受正统观念的统治，文人们宣传秦之与汉，共祖一脉，同获“水德”之瑞，因而汉袭秦正，举《颛顼历》为正统，认为《殷历》不过是“颛顼之别一术”而已。这种观念，至今仍在部份学者脑海有深深的烙印，干扰视觉。故不惜多费笔墨，为《殷历》正本清源。
5、以《殷历》为秦汉间历法的“参照线”，只在于给予一个信心，不是说《殷历》就是历史上在此期间历纪原貌。因为其间发生差距的原因很多，有历史记载方面的原因，也有历算方面错算等方面的原因。但只要有了一个以《殷历》为主心骨的信念，或者说作为经验之谈，相信其“错误”可以给予一定程度的澄清。

七　消除《历术甲子篇》的三大误会
(一)、《历术甲子篇》只是司马迁收录于《史记》巨著中的“转贴”。
开卷读《史记》，倾听太史公世守“史”职的名家绝唱，自然认定都是司马迁的文章；哪里会有心分辨在如此的巨著中，《历术甲子篇》会不会是由老夫子有心收录的，甚至是蓄意保存的一份“转贴”呢！此为必须消除的第一大误会。
首先得承认，司马迁虽然是文章巨擘，但他不是历算“畴人”。至少，历算是一门手续繁复的计算技术，不是司马迁的强项。《历术甲子篇》行文也不对太史公的笔路。这是一点即能明白的。
太初改历，汉武帝事前下诏举行了两次廷议，参加的人一次比一次多。司马迁既是修订历法的创议人之一，又是改历“领导小组”主要成员，还是汉历审订者的主脚。两次廷议，他也是参加者的主要成员。此度修订历法，就其基本任务而言，是修正老历法执行三百多年因年久失修而产生的积差。而从汉武帝热心改历的出发点而言，却是听从了方士公孙卿八年前用假造的“天书”的迷惑：“盖闻黄帝合而不死”，他想的是寻找合于天纪历元的好日子，可以“仙登于天”。颁布《太初历》之后，派出的方士们“十二岁而返，遍历于五岳四渎矣。而方士之候祠神人，入海求蓬莱，终无有验。而公孙卿之侯神者，犹以大人迹为解（用见到过神仙的话搪塞）。无其效，天子亦怠厌方士之迂怪语矣（省到是些骗子了！）。然终（与方士们）羁縻弗绝，冀遇其真。（求仙的梦，至死不悟。）”（《孝武帝本纪》）这当然是后话。回到修历的话题：这位方士公孙卿，通过汉武帝近幸嬖人打通关节，积八载经营，如今官至“大中大夫”，而且位居改历“领导小组”成员首席，他积极主张的是一桩“政治”投机买卖，因此从议造汉历的动议为始，就存在着两条根本不相容的治历思想路线。在武帝召开的第二次廷议中，要与会人“议造汉历”，与会的大典星射姓等（射姓人名）“奏曰：（臣等）不能为算，愿募治历者，更造密度，各自增减，以造汉历”。因为参与廷议的官员（包括司马迁！）没有人说会推算历术，或者不想揽这笔差事，才另行召募“治历者邓平及长乐司马可，酒泉侯宜君，侍郎尊等信民间治历者二十余人。方士唐都，巴郡落下闳与焉。都分天部，而落下闳运算转历。”从以上载于《汉书·律历志》的治理整顿汉历的人事安排看，司马迁既未在廷议中答应亲自算历，即或有本事，又何敢事后授人的“欺君”的口实，动笔来写出一分历术专门著述，更不说是非泛泛说之，可以一挥而就的《历术甲子篇》了。
太初改历的主要实际负责人是邓平。据《汉书》，他是在拟出的十八份草案中，被选中用为《太初历》的，因之《太初历》又称之为《邓平历》。其人则因制历有 “功”，封官为“太史丞”。此事在司马迁近似《历术甲子篇》序言的《历书》中，连邓平的名姓提都不提，却只简述道：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部，而巴郡落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。另改元，更官号，封泰山。”只点两人：一名唐都，曾经是司马迁父亲司马谈的天文教师，是司马迁的前辈。（参见《太史公自序》。）他不负历算之责。负“运算转历”的是来自民间的落下闳。司马迁说他的“运算转历，然后星辰之度与夏正同”，叙述略而不详，语气却非常肯定。因此，能带来只在“畴人”间师承相传的秘典《历术甲子篇》的，非落下闳之功莫属。而刻意为之原貌保存传世的当然是太史公了。为什么司马迁与上中大夫公孙卿在治历中各吹各的号，各唱各的调？司马迁“非好学深思，心知其意，固难为浅见寡闻者也”之语，似乎专门为此而发。由落下闳公开师门秘典，当只算是不能十分肯定的揣度，但《历术甲子篇》非出于太史公亲笔，却是可以非常肯定的判断。
第三，如果说，《历术甲子篇》的主要文字是为总结概括太初改历，尽管司马迁引用了不是他个人研制的成果，仍不失为司马迁动笔写的文章。下面将要进一步阐述的理由说明，《历术甲子篇》主要数据根本不是《太初历》的历数，而是存在于治历之前早已有之的历术典藉，他老先生进行的重要工作，意在“厥协《六经》异传，整齐百家杂语，藏之名山，副在京师，俟后世圣人君子”。正说明《历术甲子篇》是司马迁特别看重而蓄意保存传世的《六经》之外的“异传”，而不是由他亲自动笔挥就的时文。
(二)、《历术甲子篇》数据不仅只适用于《太初历》的历谱。
阅《历术甲子篇》最容易的误会即认为此即必是《太初历》无疑。这也是错的。
因为当朝有记载，《太初历》又名“八十一分历”，虽同以十九岁为一章岁，却无古四分历“蔀岁”的单位，而是直接以81章岁为一统岁，以3统岁为一元岁，一统岁1539岁计562120日为主要算历基数。由此数可以算出，它规定的一回归年为562120÷1539 = 365. 385/1539日≈365.25016…天；因为一统岁为235×81=19035朔望月，故一朔望月等于562120÷19035= 29.10105/19035 = 29. 43/81天；一日则分为81分。以上结果与《历术甲子篇》虽然大同，却有小异。从精度说，反比《历术甲子篇》略粗。从源流说，因为《太初历》本法不存，而《三统历》又不一定即是《太初历》，况且制《太初历》的邓平其人，最多只能算是算历的“工匠”，决无刘歆等级的学术造诣，搞不出一套三统历术系统性理论；但不勿略有大方士公孙卿从中撮合。他既有伪造天书《札》的本事，现在既要用老本本《历格甲子篇》真功实学，又另调一套近似“三统”的说法来迎合汉武帝的歪本事是有的。刘歆是正宗的有家学渊源的学问家，又是本朝人，如果不是有《太初历》历数雏形为据，凭空敷说《三统历》也是不可行的。因此，《太初历》本法只是汉后失存，不是原本无书；因之其基本内容，仍应以汉人刘歆之说为是。
或有人问：《史记·历书·历术甲子篇》每岁正文后即标出了汉武帝太初元年以下帝王年号，这不是太初以下的出谱吗？答曰：历谱固需预后几十乃至几百年，唯帝王年号决无预订之例，尤其是作者司马迁都死了之后的帝王年号，更无预卜先见之明？年号由后人加上，一点即明。至于在此老册子上，作了一些为便于转换运算新历的记注，倒是可能的，比如落下闳，他既负责“运算转历”，而且又估计《历术甲子篇》是由他贡献于世的，当不排除有他留下墨迹的可能。另外，《史记》汉武帝以下，有一位署名“后进好事者褚先生”，对一些表格作了续记。这位好事的褚先生也可能动笔。还有刘向、刘歆父子两人，也是有资格、有条件、有需要全文看《史记》的人，他俩也可能动。
《历术甲子篇》与由刘歆《三统历》表示的历数相差不大，似乎只有日分表示的方式不同？但若仔细校对，当除了有细微的区别外，也可以发现有明显不同的处所。请看本文表四历数中的第Ⅳ章岁栏第三格：48.931，表示的是《史记·历术甲子篇》记载的，汉元帝初元四年岁前十一月辛亥931分交朔。这一年合汉元帝初元三年（西元前46年）的十一月。有一巧合的机会，正好这一年的十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒大帝制订《儒略历》定为元旦之日，也就是中华历纪与西历对照定为起点的日期。由二十九日庚辰，可推知十一月初一日干支为壬子，而己经不是辛亥日了。试述两历相差一天的理由。由于《三统历》法暂未介绍，先以一般历法常识推出：因前已述，《三统历》比《殷历》用的《历术甲子篇》历数每年大365. 25016－365. 25 = 0.00016天。西元前46年距西元前105年（前104年岁前十一月）为59年，用0.00016×59 = 0.00944天。日分为940分，乘之：0.00944×940 = 8.8736≈ 9日分。好了，由《历术甲子篇》48.931(辛亥931分)转换为《太初历》48.931＋0.009=48.940=49.000（壬子0分）。按《太初历》此日干支正是“壬子”。这就很好地证实了：这一天实际历日是由《太初历》排定的为“壬子”，而非如《史记·历术甲子篇》记载出的日期安排的“辛亥”。当然，这一日之差，是由于相距5 9年两历精度不同的积差的结果。
上文的计算引用了8. 8736≈ 9，只是为了阅读的方便。此用近似值的方法用以确立论点，显然不够严密，可能让人不足征信。实际是（385÷1539－365.25）×59×940 = 9（940分制9日分）；不是近似，而是准确的数。 再罗嗦两句：算日期间隔，今人会用“儒略日”法，很简便。我们的古代祖先不识儒略为何许人也，刘歆名之为“积日法”。他老先生由称为“历元”首日的甲子（六十甲子顺序用1表！）日往下推，至称为汉元帝初元四年岁前十一月朔日的“积日”，也就是相距天数为21528天，加1，得21529，再逢60的整倍数去之，余日为49，也就知为“壬子”日了。上面和算法用现代公式表示：（21529+1）MOD60 = 49，很简明。古时要用一大堆竹签子摆来摆去，这法儿我幸逢其时，也玩过。难乎哉？难得不错！全亏得古人有那份恒心。比如《左传》襄公三十年（前543 年）记下来的那位绛县老叟，他就在别人盘问“尊寿几何”时，能随口即答出：小老儿正月朔日甲子日降生，至今日（指夏正岁前十二月二十二日）干支癸未，算来，共计活了四百四十五遍甲子加二十天。事后，人问师旷，师旷在点明其时的历史事件后，坟伯又一口推出为“共计是二万六千六百六十天”，史赵则马上由筹算码“二、⊥、⊥、⊥”联想到一个古篆体的“亥”字，而说出“亥有二首六身，则其日数也”的话来。此例说明，中国的古人老早就有算“积日”的功夫。
(三)、 《历术甲子篇》第一年名太初不是汉武帝年号“太初”。
《历术甲子篇》开头即说：“太初元年，岁名焉逢摄提格，月名毕聚，日得甲子，夜半朔旦冬至。”人们咸以为这就是汉武帝太初元年了！其实完全不是。这是司马迁只好留待后人来分辨的一个大误会。原因是：大方士公孙卿在其中插科打诨，玩了一个“喊着万岁哄万岁”的大花招。因为同时有三个不同概念的“太初”：一是历元“太初”，如果说合于武帝改历是历元的太初之年的话，也是由刘歆挑明的“以前历泰初四千六百一十七岁”算下来的三统复元的“泰初”，而不是《历术甲子篇》文意的：“太初”。人们忽略了公孙卿在八年前乘时干进时说的，那年十一月朔日干支“辛巳朔旦冬至，……汉主亦上封禅，则能仙而登天。”若从他指导邓平制订的《邓平历》即《太初历》往上反溯，无论如何算也是庚辰日而不会是他说过的辛巳日。奥妙在于，先时是用《殷历》推知的。按《殷历》那年是从距此岁 1463（即前1567年）年由《殷历》甲寅历元的“太初元年”往下而得。当年为《殷历》第二十蔀第一章岁的第十二岁，查本文表四第一行第十二位，其数为 57.184，加蔀余数21，得18.184，为辛巳日。再看一看，按《孝武帝本纪》记载的改元首日也是“甲子”日，但也不合《太初历》历元首日的“甲子日”，因为凡历元首日必月小，月只二十九天。然而《孝武帝本纪》却记曰：“十二月朔甲午，上亲禅高里，祀后土。”则上一个月是三十天而不是月小了。此说明直到太初元年年前的十二月，都还是用《殷历》授时的。由于方士公孙卿从中进行了“概念”偷换，汉武帝不明所以，或不愿意明所以，才有设局哄万岁的闹剧的发生。我们从二十七年后，有一位太史丞叫张寿王的披露可知其真象：改历时，确实销去了四分之三日，即突然抹去了《殷历》的“小余七百五分”，由原历的甲子日 705分交朔，变成为甲子日0分交朔。本来经过消除积差，密近天象，是运算转历过程中的一项正大光明的工作，为会么要等汉武帝死后多年才以披露的方式暴光出来，就是因为汉武帝请了公孙卿这位歪嘴和尚念经的缘故。
《历术甲子篇》所用的“太初元年”指的是合西元前1567年作为的历元之年。只要认准了这一关键，《历术甲子篇》中的一切疑点，都可以迎刃而解。

八 《历术甲子篇》与《太初历》的关系
《历术甲子篇》与《太初历》的关系，前文的叙述已基本示明。兹将史载要点重新归纳之，有以下几点：
1、汉书·律历志》指明，《太初历》即是从十八份各家提出的草案中，由汉武帝“诏迁（司马迁）用邓平所造八十一分历”。也顺便提到：“而落下闳（负责）运算转历，与邓平所治同”。
2、上书往下接着说：因为经过宦者淳于陵进行的天象校验，邓平的历稿与之最密合，因而汉武帝“遂用《邓平历》，以平为太史丞”。
3、其时司马迁子承父业，为太史令五年以上。太初后，历者邓平既为太史丞，与司马迁已为同僚。
4、司马迁巨著《史记》篇之一为《历书》，对太初制订历法经过只用了35个字，总结为一句话：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部，而巴郡落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。”只字未提已是他同僚的邓平，也不说“八十一分历”。
5、太史公自序》“律居阴而治阳，历居阳而治阴。律历更相治，间不容飘忽。五家之文怫异，维太初之元论。作《历书》第四。”文中“五家”指除《鲁历》外的古六历无误。但“维太初之元论”这六个字，通通译作“以太初颁行的历法较正确”也不错。但太史公文中含有的深意似乎未必尽然。
6、《汉书·孝武帝本纪》记太初元年岁前“十一月朔甲子”，“十二月朔甲午”点明：按原来实行的老历，其十一月虽日干支为甲子日，却不是《太初历》认定为的历元首日。因历元首日必为本月月小，只二十九天。而按老历，则为三十天，月大。
7、《历书·历术甲子篇》数据含一蔀岁计76年940朔望月，共27759天，合于古四分历由长期实践所得的历算基本参数：岁策 27759÷76=365.25天；月策27759÷940=29.499/940天；日分=940分.可以肯定，《历术甲子篇》为古四分历历算数表。
8、《汉书·律历志》得到班固充份肯定全文录入的刘歆《三统历》数据，以八十一章（闰）岁为一统岁，一统岁19×81=1539岁，合19035朔望月共计为562120天。由此得八十一分历基本参数：岁策562120÷1539=365.385/1539天；月策562120÷19035=29.43 /81天；日分为81分。
9、《历术甲子篇》列76年首日朔至历数，后附76年帝王及年号，起于汉武帝太初元年（西元前104年），止于汉成帝建始四年（西元前29年）。
10、《历术甲子篇》第六十位数据附年号为汉元帝初元四年，历朔数为48.931，即应为汉元帝初元三年十一月朔为辛亥931分交朔。而查历书，其年十一月初一日干支为壬子。因为这年十一月二十九日庚辰，是罗马凯撒《儒略历》首年的元旦日，是中西历对照的起点日，又与用《三统历》推步为壬子日合，不会有记、算上的误会。
1 1、书·律历志》载《太初历》后“二十七年，元凤三年，太史令张寿王上书言，今阴阳不调，宜更历之过也……言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分……”按《历术甲子篇》去705分，唯其第二十号数：40.705分。查此数以《殷历》（亦古四分历）推，属第二章岁首岁；又依《殷历》，武帝元封七年，（即改历后称为的“太初元年”。）入第二十蔀（参见表二20/0123BC22）的第二十年，蔀余数22－1=21。由 40.705＋21.000=61.705=1.705.去小余七百五分，依张寿王言，正好是甲子0分。不去小余，则正好是由（6）点出的，元封七年岁前十一月朔日甲子月大，十二月朔甲午月小。又十一月朔日为第二章岁首日，也只可能小余是705分。因之，张寿王所谓“去小余705分”，就是将元封七年十一月原交朔时间由705分（合下午酉时）移前为夜半子时。
好了，有了史料，可以往下说了。从史料（11）说起。张寿王之说“亏四分日之三，去小余七百五分”，实则是邓平在始作俑者公孙卿的授意下，将落下闳用于“运算转历”的祖传“宝典”《历术甲子篇》数据，往下平移一章岁，又将元封七年岁前的十一月初一日由原老《殷历》不算作历元的，再改为历元之年，就人不知鬼不觉弥合得“天衣无缝”了。他两人因“夺”历者落下闳之劳而为自已之功，若不换一个说法，岂不是很容易真相露白？如是，则八十一分历应运而生。我用“八十一分历”积日法也推出了一份历表，与《历术甲子篇》两相对照，由于其精度基本一致，实在相差不大。用两表由太初元年往后排历，直到第六十年，也就是（8）所表，才出现一日之异。由此可以肯定，《太初历》不是《历术甲子篇》“历”，而是以后者为师本的新历法。
司马迁对方士公孙卿的才华作了不用直述的肯定，对他的不光彩的经历则进行了充分的揭露。但对其在改历过程中的权术活动，除了无一字肯定外，不敢稍有揭示，则因为他当时也是只有疑惑，加上自身的特殊经历，更有难言的苦衷。因之，只有用不肯定、留疑问上下功夫，明显是由后人来明辨了。
刘歆著《三统历》，其学说得到了经学家班固的充份肯定，则是因为实践在认识世界活动中的重要地位被轻视的倾向已成潮流。可以这么看，古四分历以76年 27759天作为基本参数，是世守师传历人经过长期实践基础上形成的经验，从中得到的正确认识。对上项数据的得到，是人的实践活动可以做到的有源之水，有木之果。而《三统历》以1539年计562120天为算历的基数，则只是来源于间接知识进行的再次推导。首先，刘歆的前人没有能力积累长达1539年的天象观测数据。在学问中，人们接触的虽然说主要是间接知识，但必须首先审查来源于一手知识的可靠程度。其实，由古四分法基数27759天，是很容易推出 1539年为562120天的：27759÷4×1539 = 562119.75天≈562120天。但刘歆不但不承认，反而引入另一套“大道理”。他的中心议题是用“大衍数”解释“八十一分历”的月法：

是故元始有象一也，春秋二也，三统三也，四时四也，合而为十，成五体。以五乘十，大衍之数也，首据其一，其余四十九，所当用也。（[1+2+3+4]×5－1 = 49）故蓍以为数。（49是易用蓍草进行占卜的主数）以象两两之，又以象三三之，又以象四四之，又归闰象十九，及所据一加之，因以再仂两之，是为月法之实。（[49×2×3×4＋19＋1]×2 = 2392。）

刘歆月法有这么个“来源”，是说按日81分制一个月为2392分；则19年总分为2392×235=562120日分，称周天数。因而一统岁1539年的日数也出来了：562120×81÷81 = 562120天。如果此数经得起实践的考验，也真了不起。因为1539年真实接近的天数只有562108日，差12天之多，无怪我认为刘歆只是在这儿故弄玄虚！
由上赘述，只说明一条道理：《太初历》只是《殷历》所本《历术甲子篇》移近了天象的，稍加变化的继承。刘歆用易数玄虚立《三统历》，未经受住实践的考验。再加两句题外的话：《宋书·律历志》引祖冲之曰：“古之六历，并同四分。四分之法，久则后天。以(日)食验之，经三百年，辄差一日。”如果刘歆以他的学识，用务实而不是务玄的态度，看了张寿王的故事，那怕是误打误中，将《殷历》执行三百多年的积差小余705分一笔抹去，其所成历法精度的成果，则更为伟举了。

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九　《历术甲子篇》与岁用干支的关系
《历术甲子篇》的年名人们总是往“岁星纪年”上牵连，这是真正的抱残守缺。
第一，表列共76年，从第61号往下的16个年名，又从第1号重复顺序下移，已足够证实本书只共用了60个不同的年名。兹将书中六十 同的年名表录如下：

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
困 顿 赤奋若 摄提格 单 阏 执徐 大荒落 敦牂 协 恰 涒 滩 作 噩

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
淹 茂 大渊献 困 顿 赤奋若 摄提 单 阏 执徐 大荒落 敦 牂 协 恰

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
涒 滩 作 噩 淹 茂 大渊献 困顿 赤奋若 摄提 单 阏 执 徐 大荒落

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
敦 牂 协 恰 涒 滩 作 噩 淹茂 大渊献 困顿 赤奋若 摄提格 单 阏

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
执 徐 大荒落 敦 牂 协 恰 涒滩 作 噩 淹茂 大渊献 困 顿 赤奋若

焉 逢 端 蒙 游 兆 强 梧 徒维 祝 黎 商横 昭 阳 横 艾 尚 章
摄提格 单 阏 执 徐 大荒落 敦牂 协 恰 涒滩 作 噩 淹 茂 大渊献

第二，表上60个不同的年名，再进一步分析，又可方便地发现，是由上10加下12个不同的词码顺序相缀合而成的。上位的十个词码对应于十天干，顺序为：

1焉逢、甲，2端蒙、乙，3游兆、丙，4强梧、丁， 5徒维、戊，
6祝黎、己，7商横、庚，8昭阳、辛，9横艾、壬，10尚章、癸。

下位的十二个词码则是：

1困顿、子， 2赤奋若、丑， 3摄提格、寅， 4单 阏、卯，
5执徐、辰， 6大荒落、巳， 7敦 牂、午， 8协 恰、未，
9涒滩、申， 10作 噩、酉， 11淹 茂、戌 ， 12大渊献、亥。
第三，由10个上码与12个下码组成60个不同的年名的规则是：上码与下码次第分明，而且，上码中位居奇数的词码，也只与位居于奇数的下码搭配；上码中位居偶数的词码，也只与位居偶数的下码搭配。

由以上三条观察的条例，很容易发现：《历术甲子篇》用词码作为年名，与六十甲子的60干支，10天干12地支，和天干地支的顺序搭配规则是一一对应的。这种关系说明，《历术甲子篇》是用干支的一种代码名年的。这种代码，是作为由岁星纪年进化到正式用干支名年的一种过渡形式，由与《历术甲子篇》同时启用于西元前427年顷开始，已在活动范围不广的特定场合使用长达四百年以上。
1、专用年名是一组行业密码。无论这套词码曾经是如何来的，与天象甚至与外国古巴比仑文明扯得上关系，也不改其在历人间用以作为年名，只是作为行业密码传递信息的功用。因为在中国，每个比较古老的行业，为了保护师门和行业的特殊性利益，都有“行话”和“密码”，俗话叫“江湖切口”语，其范围不限止于某一行业，几乎行行如此。历人这个“行业”是春秋末战国初形成的。其时正是岁星纪年由于跳辰，因而逐渐失去纪年资格，又因为古四分历理论已经成熟，己由观象授时开始让位于计算推历的时代。由于历法推步工作的需要，产生了用干支预示年名的迫切要求。但这时若贸然用六十甲子名年，冒的风险太大，用一套密码既不当风险，又可让外人感觉神密玄妙，一举多益，何乐不为。还有，这套词码由于先只用于口头，后来记录成文字就有音同字异的现象。例子如“作噩”又写成“作鄂”， “淹茂”也写为“阉茂”等，同一书上就出现不同的写法。
2、同所有的密语一样，这一套代表顺序的词码虽然其顺序是固定的，与干支的对应也是有序的，但谁与谁对应在开始却是约定而未“俗成”。在不同的场所，可以有不同的关联。现成例子是：
（1）、《尔雅·释天》岁阳：“太岁在甲曰瘀逢，在乙曰旃蒙，在丙曰柔光，在丁曰强圉，在戊曰著雍，在己曰屠维，在庚曰上章，在辛曰重光，在壬曰玄黓，在癸曰昭阳。”
岁阴：“太岁在寅曰摄提格，在卯曰单瘀，在辰曰执徐，在巳曰大落荒，在午曰敦牂，在未曰协恰，在申曰涒滩，在酉曰作噩，在戌曰阉茂，在亥曰大渊献，在子曰困顿，在丑曰赤奋若。”
（2）、司马迁《史记·历术甲子篇》名年十天干顺序和用字与《尔雅·释天》就不同：甲作“焉逢”，乙作“端蒙”，丙作“游兆”，丁作“强梧”，戊作“徒维”，己作“祝黎”，庚作“商横”，辛作“昭阳”，壬作“横艾”，癸作“尚章”。
3、或有人问曰：《汉书·律历志》“以前历上元太初四千六百一十七岁，至于元封七年，复得焉逢摄提格之岁”一语中，“元封七年不就是太初元年吗，焉逢摄提格不是代表“甲寅”吗，怎么太初元年成了甲寅年呢？可以这样答复：“汉武帝复得的乃是天纪历元之岁，谁通知你提前破译穷根究源了呢！”在当时确实除了局内人，任谁都有是蒙混其词的。但若注意，司马迁于《历术甲子篇》文后有几句似乎残缺不全的注释，地支只点了两个名：“支，丑名赤若奋，寅名摄提格”。若是怕人不懂，又何以画蛇只画两只脚？如果太史公原稿确是如此，则真是大有深意。恰巧，太初元年岁名丁丑，而《历术甲子篇》的历元正好又是甲寅。《殷历》开始计历于西元前1567年，年名也正好是甲寅年。也因为历元始于前1567年，时值殷季，才有《殷历》的取名。再依实际天象，也就是《殷历》实施开始的西元前 427年，也是甲寅年。真正是三针对一线了。总之阅读古书，必须从实际考证，才能去粗取精，弃伪存真，由表及里，来个否定之否定。

十 前人对《历术甲子篇》的考评
《汉书·律历志》：太初改历后“二十七年，元凤三年（时武帝已逝世九年），太史令张寿王上书言：今阴阳不调，宜更历之过也。诏下主历使者鲜于妄人诘问，寿王不服。鲜于亡人请与治历者大司农中丞麻光等二十余人钧校诸历用状。奏可。诏与丞相、御史、大将军、右将军各一人，杂候上林清台，课诸历疏密，凡十一家。以元凤三年十一月朔旦冬至，尽（于元凤）五年十二月，各有第，寿王课疏远。案寿王非汉历，逆天道，非所宜言，大不敬。有诏勿劾。复侯，尽（于元凤）六年，《太初历》第一。即墨徐万且，长安徐禹治《太初历》，亦第一。丞相属宝，长安单安国，安陵杯育治《终始》言：寿王历乃太史官《殷历》也，又妄言《太初历》亏四分日之三，去小余七百五分，以故阴阳不调，谓之乱世。劾寿王。寿王侯课，比三年下，（多次进出狱门！）终不服。再劾死。更赦勿劾。（十七岁的皇帝刘弗陵有自已的见地。）遂不更言，（还是不改变态度，有立场！）诽谤益甚。（犟驴子一匹）竟以下吏。（下课了事）故历本之验在于天。（实践是检验真理的唯一标准。）自汉历起，尽元凤六年，三十六岁（“六”是衍文，只三十岁）而是非坚定。”这是一篇最早出现的评论文字。张寿王仍以《殷历》推比太初更晚二、三十年的历象，留恋积差已经很大的《殷历》，不顾《太初历》密近天象的事实，只抓住在改历过程中的弄虚作假不放，固宜其败也。
汉成帝（前32—前7年）时楚元王四世孙，经学家刘向“总六历，列是非，作《五纪论》。”刘向的儿子子承父业，精研历术细微，作《三统历》及《谱》。此仍为同时代参与考评的人事。因对其另有专论，故此处从略。
晋杜预（222—284），博学多通，撰《春秋长历》等。他的观点是，古六历“非时王之术”。也就是说，“夏历”非夏时已有成文历法，《殷历》也非殷时历书。此论，无疑是很有见地的。
南北朝祖冲之（429—500）《大明历》编著者。他的观点认为，古六历起于周末汉初，同用的是古四分历理，并非夏、商三代以前的历法。《宋书·律历志》：古六历“考其远近，率皆六国同秦汉时人所造。”祖冲之曰：“古之六术，并同四分。四分之法，久则后天。以食验之，辄差一日。古历课今，其甚疏远，朔后天过二日有余。以此推之，古术之作，皆在汉初周末，理不得远。且却校《春秋》，朔并先天，此则非三代以前之明证矣。”
到了清代，据卢仙文、江晓原《清代学者对古代历法的整理研究》的介绍，知清代学者对古代天文历法的研究，占重要一席。
姚文田《邃雅堂学古录》（清道光江阴学署刊本）：“古史称颛顼为历宗，考其纪算，从甲寅始。”他所引数据，实出自《殷历》和《历术甲子篇》。另著《史记历书考》，则指出：“其所载历法与太初不同”。
邹汉勋《学艺斋遗书》（清光绪刊本）：他认为“古历并为四分。”又说：“元起甲寅，日起甲子者，为颛顼之别一术，即《殷历》。”关于秦用之历，他说：“秦用颛顼历，盖年起乙卯（前366年）而日起于丁卯，杂作他法成之，非纯用颛顼历也”。（按岁前十一月朔日为乙卯，非“丁卯”。）
王元启《史记三书正伪》（丛书集成本）“四分法实本太初”。认为“《史记》所载即《太初历》”。陈厚耀《春秋长历》，邹伯奇《邹征君遗书》（同治癸酉刊本）两书附和上说。
据卢仙文、江晓原两氏归纳介绍，清学者李光地、钱大昕、阮元、李锐等均认为《太初历》用的是“三统术”。其中，成蓉镜《成氏遗书·三统历考》（道光三年仪征阮氏刊本）共列出八条证据说明《太初历》用的是“三统法”而非“四分术”。
因为上面史料均间接引用，其原说法不知其详，故本文未用为佐证。作为语录，可供参考。也可以用为深入考研原说的一份索引。

十一　《历术甲子篇》的数学模式化

古四分历历理，是西元前五世纪顷完成的严密计算系统工程，个人重编其历谱，是据其原理编制历谱的“数学模型”，现归纳汇报于次：

一、严格以朔望月长定推阴历的月份
古四分历朔望月长取29.530851064天。古人为方便计算，其整数部份取60循环计数，以与六十甲子数相一一对应；而其小数部份则化简为940分进位制。0.530851064×940 ＝ 499分，所以上述的朔望月长变成为29.499天，称之为古四分历的“月策”。只需记住：月策的小数部份是用940进位制，而其整数是用60循环制，且与六十甲子数相一一对应。正文的月法部份曾提出：设本月历朔数为Ｒ0，推下一个月的历数Ｒ1 ，可由下式表示：
Ｒ1＝Ｒ0　＋ 29.499
现将Ｒ0设为某一历算起点的交朔历数，而将Ｒ1 的下标1改为距起历点为任一X朔望月数所求月份的交朔日时，则上式成为一通式：
ＲX＝Ｒ0　＋ 29.499X ……………式 ①
则通式①可以算出距起历“原点”任一积月的交朔日时。比如正文表四《历术甲子篇》甲子蔀历数表中，“历元” Ｒ0＝1.000，　其第四年(首月)的历数为13.603，试计算之。因为该月头距现在称之为原点的积月数Ｘ＝37(朔望月)，代入式①，可得：
Ｒ37＝1.000　＋ 29.499×37＝1.000＋1073.18463≡1.000 +53.000 + 19.603＝73.603≡13.603 。得证 。
1、上列算式中，用了整数与小数分别计算的“定义算式”，兹列范式如次：29.499×37 ＝ 29×37＋499×37 ＝1073 ＋18463 ≡ 53 ＋19.603 ＝ 72.603 ＝ 12.603。是将60循环制与940进位制并在一起计算的特殊计算方法!
2、用上面同样的方法，可以将《历术甲子篇》76年的任一年任一朔望月的历数用式①统一表达出来。也就是说，用一个算式，将其76年间940个朔望月的历数全部概括无余。作为例子，如表四最后一年历数为16.093，实则是积月第927朔望月交朔日时。现将X＝ 927代入①式，可得：
　Ｒ927＝1.000　＋ 29.499×927＝1.000＋26883.462573≡1.000 +3.000 + 492. 93＝496.093≡16.093 。得证 。
3、既取“月策”为29.499天，在此月策实用期限内，式①通用。比如，我们认定西元前427年十一月的Ｒ0 ＝ 46.000，为算历的坐标原点，它的实施期的最后一个月为西元前104年首月(岁前十一月)相距朔望用月数为 ＝ 940×4 ＋ 235 ＝ 第3995朔望月，使用系数η＝29.499，将之代入式①中，得 ：
Ｒ3995＝46.000　＋ 29.499×3995＝46.000＋115855.1993505≡46.000 +55.000 + 2120.705＝2221.705≡1.705 。得证。
4、若将古四分历，亦即是《历术甲子篇》月策29.499，改换为十进制表述为η＝ 29.53085106代入式①，可以更方便进行计算。所得结果，其小数为十分制日分时间，可以很方便地转换为940分制、现代时分秒制，或其它任一日分制来表述。而得数的整数，则就是从原点到所求朔望月份首日的相距天数或“积日”，且也能很方便地用对模60等余(X·MOD60)的方法求得其记日干支。
5、以上仍是就古四分历而论的。推而广之，我们己知《太初历》使用的是“八十一分历”，月策为29又81分之43天，能否也用上述方法呢？能用的。己知 43÷81＝0.5308642，则用十分制表示的八十一分历月策为η＝29.5308642，将之代入式①，就能很方便地施行于《太初历》的算历了。
6、张汝舟氏将古四分历月策用年减940分之3分的办法，加以改造而名之为“经朔”，使之与天象一致。这是他独树一帜的好办法。而如果采用η＝ 29.530589，将之代入式①，也就可以进行其精度为实测朔望月长度的，称之为经朔的朔望月交朔日时计算了。

二、严格按回归年之长算气候
古四分历取岁长365.25天，经匀分为冬至、大寒、雨水、春分、谷雨、小满、夏至、大暑、处暑、秋分、霜降、小雪等含12个中气对应的所在月份。比如冬至所在的月份，就称之为十一月，大寒所在月称之为十二月，雨水必在春节所在的正月，等，一一类推。因为古四分历约定一岁长时间的中气距离是匀分的，故每一中气气距，或则约定为一个中气月的长度令为 ξ＝ 365 .25÷12 ＝ 30. 14 天。其中小数是采用32为分母，或称之为32进位制表示的。
现设Q 0为某一历算起点的中气日时数（以下简称中气数），而设QY 为距起历点任一Y中气月数所求月份的中气数，仿式①方式可以建立通式：
Q Y ＝ Q 0 ＋ 30.14Y　　…………………②
正文表四《历术甲子篇》甲子蔀历数表中，“历元”Q0＝1.00，　己查得其第三年夏历“六月朔已卯16.429月小；大暑廿九日44.18。”试以计算法核之。因为该月距现在称之为原点的积中气月数Y ＝ 31 (中气月)，代入式②，可得：
Q 31 ＝ 1.00. ＋ 30.14×31＝1.00＋930.00＋13.18.＝944.18≡　44.18。　得证。
1、上列算式中，用了整数与小数分别计算的“定义算式”，兹列范式如次：30.14×31＝30×31＋0.14×31 ＝ 930.00＋0.434≡ 30 +13.18＝43.18 。上面的运算，是将60循环制与32进位制并在一起计算的特殊计算方法 !
2、用上面同样的方法，可以将《历术甲子篇》76年的任一年任一月份的中气数用式 ②统一表达出来。也就是说，用一个算式，将其76年间912个中气月的中气数全部概括无余。作为例子，如表四最后一年历数为16.093；而其冬至数由《历术甲子篇》最后一段“大余33，小余24”，知为33. 24。实则是中气积月第900中气月节令交冬至的日时。现将Y＝ 900代入式②，可得：
　Y 900＝1.000　＋ 30.14×900＝1.000＋27000.12600≡1.000 +0.000 + 393. 24＝394.24 ≡ 33.24 。得证 。
3、既取“气策”为30.14天，在此气策实用期限内，式②通用。比如，我们认定西元前427年十一月的Ｒ0 ＝ 46.000，因蔀首朔气同日同时冬至日时亦这Q0＝46.00，且作为算历的坐标原点 。它的实施期的最后一个月为西元前104年首月(岁前十一月) 相距中气月数为 ＝ 912×4 ＋ 228 ＝ 第3876中气月，使用系数ξ＝30.14，将之代入式②中，得 ：
Y3876＝46.00＋ 30.14×3876＝46.00＋116280.54264≡46.00 +0.00 + 1695.24＝1741.24 ≡ 1.24 。得西元前105年十一月初一日甲子酉时冬至，与历纪合，得证。
4、若将古四分历，亦即是《历术甲子篇》中气策30.14，改换为十进制表述为ξ＝ 30.4375代入式②，可以更方便进行计算。所得结果，其小数为十分制日分时间，可以很方便地转换为32分制、现代时分秒制，或其它任一日分制来表述。而得数的整数，则就是从原点到所求中气的相距天数或“积日”，且也能很方便地用对模60等余(Y·MOD60)的方法求得其记日干支。
5、实测一回归年长为365.2422天，除以12，得平均一中气月的时间长度为30.43685天。用ξ＝ 30.43685，代入式②，就可以进行其精度为实测平均中气气距的交节日时计算了。

三、以闰月使阴阳合历
中华历法是一种阴阳合历。也就是说，中华历法向来注重太阳与月亮(太阴)在天相变化反映于历法上的和谐与统一。阴历与阳历和谐的办法就是古人说的 “以闰月定四时成岁”。前此关于先秦古代历法的研讨中，虽然对由《历术甲子篇》所说的“闰归于终”，和对刘歆所阐述的“穷则变，闰尽则闰”的历法思想作了很多探讨，然桎棝于总结归纳古法，一直没有放下用手工操作进行“推步”的模式。下面试探索用一个算式将上述的式①和式②有机地联系起来。
前己述，古四分历一“中气月”平均中气的长度为ξ ＝ 30 .4375天，而一个朔望月的标准长度 η ＝ 29 . 530851 天，由冬至为 0 算起的朔望用序为X，中气月序为 Y ，而由Δ ＝ 1开始的闰轮序数为 Δ ，则闰月所在朔望月序的位置为X＝Y＋Δ。现在立満足某一朔望月没有“中气”作为“闰月”的条件：
条件【1】：闰月朔日必须位于对应中气的日期的后。
由式②闰月前中气的“中气数”：Q Y ＝ Q 0 ＋ξY ；
由式①闰月朔日的“历数”为RX ＝Ｒ0　＋ η ( Ｙ＋Δ ) 因两式的起点归一，可令Q 0＝Ｒ0 ，由条件【1】，可立 ：
【η（Ｙ＋Δ）】＞【 ξＹ】 ……… ③
式中方括号表示，只 取 乘 积 的 整数部份。
条件【2】：闰月后一中气必须在闰月的晦日日期之外。由条件【2】同样可立：
【ξ（Y＋1）】＞【η（Y＋1＋Δ）】 …… ④
式③、④是满足闰月不在中气历点上的充份和必要条件。其具体位置可由下面的经验算式 Y = 32.4Δ所得数的前后两整数试探确定之。以下将古四分历甲子蔀的28个闰月位置列表计算如下：

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二十八闰月中气历算表式

第一篇·第一章

1闰轮序 01　　 02　　 03　　 04　　 05　　 06 　 07
2积气月 031　　 064　　 097　 130　　 162　　 194　 227
3首气数 0043.5625 1948.0000 2952 .4375 3956.8750 4930.8750 5904. 8750 6909.3125
4气干支 丁未 壬辰 丙子 庚申 甲戌 戊子 癸酉
5中气名 大暑 谷雨 大寒 霜降 夏至 雨水 小雪
6积朔月 32 66 100 134 167 200 234
7闰朔数 0944.9872 1949.0362 2953.0851 3957.1340 4931 5621 5906.1702 6910.2191
8朔干支 戊申 癸巳 丁丑 辛酉 乙亥 庚寅 甲戌
9闰月名 六 三 十二 九 五 一 十
⒑尾气数 0974.0000 1978.4375 2982.8750 3987.3125 4961.3125 5935.3125 6939.7500
⒒气干支 丁丑 壬戌 丙午 辛卯 乙巳 己未 癸卯
⒓中气名 处暑 小满 雨水 小雪 大暑 春分 冬至
⒔下月朔 0974.5180 1978. 5670 2982.6159 3986.6649 4961.1830 5935.7011 6939.7500
⒕朔干支 戊寅 壬戌 丙午 庚寅 乙巳 己未 癸卯

第一篇·第二章

1闰轮序 08　　 09　　 10　　 11　　 12　　 13 　 14
2积气月 260　 292　　 324　 357　　 390　　 422　 454
3首气数 7913.7500 8887.7500 9861.7500 10866.188 11870.625 12844.625 13818.625
4气干支 丁巳 辛未 乙酉 庚午 甲寅 戊辰 壬午
5中气名 处暑 谷雨 冬至 秋分 夏至 雨水 霜降
6积朔月 268 301 334 368 402 435 468
7闰朔数 7914.2681 8888.7862 8963.3042 10867.353 11871.402 12845.920 13820.438
8朔干支 戊午 壬申 丁亥 辛未 乙卯 己巳 甲申
9闰月名 七 三 十一 八 五 一 九
⒑尾气数 7944.1875 8918.1875 9892.1875 10896.625 11901.063 12875.063 13849.063
⒒气干支 戊子 壬寅 丙辰 庚子 乙酉 己亥 癸丑
⒓中气名 秋分 小满 大寒 霜降 大暑 春分 小雪
⒔下月朔 7943.7989 8918.3710 98928351 10896.892 11900.933 12875.451 13849.969
⒕朔干支 丁亥 壬寅 丙辰 庚子 甲申 己亥 癸丑

第一篇·第三章

1闰轮序 15　　 16　　 17　　 18　　 19　 20 　 21
2积气月 488　　 521　　 553　 585　　 618　　 651　 683
3首气数 14853.500 15857.938 16831 938 17805.938 18810.375 19814.813 20788.813
4气干支 丁酉 辛巳 乙未 己酉 甲午 戊寅 壬辰
5中气名 处暑 小满　 大寒 秋分 夏至 春分 小雪
6积朔月 503 537 570 603 637 671 704
7闰朔数 14854.018 15858.067 16832.585 17807.103 18871.152 19815.201 20789.719
8朔干支 戊戌 壬午 丙申 辛亥 乙未 己卯 癸巳
9闰月名 七 四 十二 八 五 二 十
⒑尾气数 14883.938 15888.375 16862.375 17836.375 18840.813 19844.250 20819.250
⒒气干支 丁卯 壬子 丙寅 庚辰 甲子 戊申 癸亥
⒓中气名 秋分 夏至 雨水 霜降 大暑 谷雨 冬至
⒔下月朔 14883.549 15887.598 16862.116 17836.612 18840.683 19844.732 20819.250
⒕朔干支 丁卯 辛亥 丙寅 庚辰 甲子 戊申 癸亥

第一篇 · 第四章

1闰轮序 22　　 23　　 24 25　　 26　　 27 　 28
2积气月 715　　 748　　 781　 813　　 845　 　 878　 911
3首气数 21762.813 22767250 23771.688 24745.688 25719.688 26724.125 27728.563
4气干支 丙午 辛卯 乙亥 己丑 癸卯 戊子 壬申
5中气名 大暑 谷雨　 大 寒 秋分 小满 雨水 小雪
6积朔月 737 771 805 838 871 905 939
7闰朔数 21764.237 22768.286 23772.335 24746.853 25721.371 26725.420 27729.469
8朔干支 戊申 壬辰 丙子 庚寅 乙巳 己丑 癸酉
9闰月名 六 三 十二 八 四 一 十
⒑尾气数 21793.250 22797.688 23802.125 24776.125 25750.125 26754.563 27759.000
⒒气干支 丁丑 辛酉 丙午 庚申 甲戌 戊午 癸卯
⒓中气名 处暑 小满 雨水 霜降 夏至 春分 冬至
⒔下月朔 21793.768 22797.817 23801.866 24776.384 25750.902 26754.951 27759.000
⒕朔干支 丁丑 辛酉 乙巳 庚申 甲戌 戊午 癸卯

注 释：
2、积气月：从冬至为0原点算起的中气秩序，或称积中气月数。
　　3、首气数：闰前中气积日和交气时间；本表数字均用十进制，为表项2与古四分历平均中气距30.4375的乘积。其中整数为从0原点算起的积日天数。其数的小数部份，为十进位表未的交气时间。其数乘以32，就是古四分历计节气的“小余”数了；比如0.5625×32＝10（日分），等。
　　4、气干支：历数的整数部份除以60的余数加1，即为对应的日干支序数；比如0943≡43,　43＋1＝44＝丁未，等。
5、中气名：项2除以12的余数所对应的中气名称。得数与十二中气名称的对应关系：0（1 2）冬至 ，1 大寒 ，2 雨水 ，3春分 ，4 谷雨 ，5 小满 ，6夏至 ，7 大暑 ，8 处暑 ，9 秋分，10 霜降 ，11 小雪 。
6、积朔月：项1加项2，为从0原点算起的朔望月序，亦称之为朔望积月。
　　7、闰朔数：闰月朔日的历数，得至古四分历月策长29.530851乘以项6的积朔月数。得数的整数为从0原点算起的积日。小数取十进位。其数乘以940，即得古四分历交朔时间的“小余”，乘以81，即得《太初历》历数的“小余”等。例如0.9872×940＝928（日分），0.9872×81＝80（日分），与《殷历》西元前425年闰六月，或与《太初历》西元前102年闰六月朔的日分均相恰合。
8、朔干支：闰月朔日干支。历数的整数部份除以60的余数加1，即为对应的日干支序数；如0944MOD60＋1＝ 45 ＝ 戊申，等是。
9、闰月名：闰月的夏历月份。项2所载“积气月”数除以12的余数减1即是。如 162MOD12 – 1 ＝ 5 ＝ 闰五月，等。
10、尾气数：闰月的下一个节气历数。由项3所载“首气数”加30.4375的得数。加法用十进位法。
13、下月朔：所闰月份次一个月的交朔日时。由项7“闰朔数”加一个“月策”29.530851天的得数。加法用十进位法。
说 明：
由以上计算所得四章28闰轮轮历数，可总结之于下：
1)、上法算出的甲子蔀岁76年间28次闰月安排，归纳这如表附下。其闰月月名按夏历。由得数知，与用“推步”方法得出的闰用月月份，比如由张汝舟在《二毋室古代历法研究》交侍的闰月月份是完全一致的。
章 Ⅰ Ⅱ　Ⅲ　Ⅳ Ⅴ Ⅵ Ⅶ
01　 六 三 十二 九 五 一 十
02 七 三 十一 八 五 一 九
03 七 四 十二 八 五 二 十
04 六 三 十二 八 四 一 十
2)、上表所采用历算参数咸同于古四分历，其算术方法也不脱离“古法”，“古制”，所得结果也完全符合名义上闰月不含“中气”的要求。其朔闰关系，于每章岁之后随机抽出两闰轮数据，附出制图一帧，以直观其相互契合的程度。
3）、历人的所谓历法“推步”，顾名思义，要旨是因为历法参数间的关系微妙，无法统算，必须推一步行一步，摸着了石头再挪步的意思。而窃以为，只要是抓住了中华古历的龙脉，跳出了繁琐仪节的桎棝，订出既科学又简洁的条例，才既可以真正认识中华古历的精义，而又为古法今用进行有效的开拓。上面关于闰月安排的历算，就是想跳出“推步”的尝试。运用之妙，存乎一心；有“庖师解牛，不识全牛”之功用。
4)、从表、图和计算数据可知，以上关于闰月安排，也是以76年为周期而循环复始的 。但需注意：本法所采取的中气，和交朔日期，都是“名义”历数，与“定朔” 和“定气”，有少许的区别。只说是“少许”，可从太初改历以来，止于2100年闰月安排统计的实际说明之：从西元前104年到西元2100年相距为 2204年，刚好是29个76年。西元前的104年闰38次，闰月的安排都是与古四分历恰合的。西元后2100年闰月为774次。除因为历法精度提高，打破了76年为周期节奏，导致闰月差动后移外，其余于古法并无大的变故。关于这2100年间744次具体闰月年份和月份的历纪统计，请参见拙著《中华历纪中的闰月》一文，己上网可查。如此一说，好像作者有执古的味道。故以上见解，，也还是只是作心得一见。但窃以为，中华古历要为中华文明的复兴再立新功，由繁入简，与时俱进，是改革的必经之路!

附件一
《殷历》第十六至第二十蔀第一章历数表

表1 第十六蔀 (己酉蔀，西元前4 2 7年—西元前3 5 2年）

【前427年岁前冬至：4 8 . 0 3 2】

年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁
427— 46.000； 408—25.705； 389—05.470； 370—45.235；
426— 40.348； 407—20.113； 388—59.818； 369—39.583；
闰Ⅰ— 34.696； 406—14.461； 387—54.226； 368—33.931；
424— 58.603； 405—38.368； 386—18.133； 367—57.838；
423— 53.011； 404—32.716； 385—12.481； 366—52.246；
闰Ⅱ— 47.359； 403—27.124； 384—06.829； 365—46.594；
421— 11.266； 402—51.031； 383—30.736； 364—10.501；
420— 05.614； 401—45.379； 382—25.144； 363—04.849；
闰Ⅲ— 60.022； 400—39.727； 381—19.492； 362—59.257；
418— 23.869； 399—03.634； 380—43.399； 361—23.164；
闰Ⅳ— 18.277； 398—58.042； 379—37.747； 360—17.512；
416— 42.184； 397—21.889； 378—01.654； 359—41.419；
415— 36.532； 396—16.297； 377—56.062； 358—35.767；
闰Ⅴ— 30.880； 395—10.645； 376—50.410； 357—30.175；
413— 54.787； 394—34.552； 375—14.317； 356—54.082；
412— 49.195； 393—28.900； 374—08.665； 355—48.430；
闰Ⅵ— 43.543； 392—23.308； 373—03.073； 354—42.778；
410— 07.450； 391—47.215； 372—26.920； 353—06.685；
闰Ⅶ— 01.798； 390—41.563； 371—21.328； 352—01.093。

表2 第十七蔀 (戊子蔀 ，西元前351年—西元前276年)
【 西元前351年岁前冬至：26.415 】
年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁
351— 25.000； 332—04.705； 313—44.470； 294—24.235；
350— 19.348； 331—59.113； 312—38.818； 293—18.583；
闰Ⅰ— 13.696； 330—53.461； 311—33.226； 292—12.931；
348— 37.603； 329—17.368； 310—57.133； 291—36.838；
347— 32.011； 328—11.716； 309—51.481； 290—31.246；
闰Ⅱ— 26.359； 327—06.124； 308—45.829； 289—25.594；
345— 50.266； 326—30.031； 307—09.736； 288—49.501；
344— 44.614； 325—24.379； 306—04.144； 287—43.849；
闰Ⅲ— 39.022； 324—18.727； 305—58.492； 286—38.257；
342— 02.869； 323—42.634； 304—22.399； 285—02.164；
闰Ⅳ— 57.277； 322—37.042； 303—16.747； 284—56.512；
340— 21.184； 321—60.889； 302—40.654； 283—20.419；
339— 15.532； 320—55.297； 301—35.062； 282—14.767；
闰Ⅴ— 09.880； 319—49.645； 300—29.410； 281—09.175；
337— 33.787； 318—13.552； 299—53.317； 280—33.082；
336— 28.195； 317—07.900； 298—47.665； 279—27.430；
闰Ⅵ— 22.543； 316—02.308； 297—42.073； 278—21.778；
334— 46.450； 315—26.215； 296—05.920； 277—45.685；
闰Ⅶ— 40.798； 314—20.563； 295—60.328； 276—40.093。

表3 第十八蔀 (丁卯蔀，西元前275年---西元前200年)
【 西元前275年岁前冬至：04.798 】
年号- 1章岁； 年号-2章岁； 年号-3章岁； 年号-4章岁
275— 04.000； 256—43.705； 237—23.470； 218—03.235；
274— 58.348； 255—38.113； 236—17.818； 217—57.583；
闰Ⅰ—52.696； 254—32.461； 235—12.226； 216—51.931；
272— 16.603； 253—56.368； 234—36.133； 215—15.838；
271— 11.011； 252—50.716； 233—30.481； 214—10.246
闰Ⅱ—05.359； 251—45.124； 232—24.829； 213—04.594；
269— 29.266； 250—09.031； 231—48.736； 212—28.501；
268— 23.614； 249—03.379； 230—43.144； 211—22.849；
闰Ⅲ—18.022； 248—57.727； 229—37.492； 210—17.257；
266— 41.869； 247—21.634； 228—01.399； 209—41.164；
闰Ⅳ—36.277； 246—16.042； 227—55.747； 208—35.512；
264— 60.184； 245—39.889； 226—19.654； 207—59.419；
263— 54.532； 244—34.297； 225—14.062； 206—53.767；
闰Ⅴ—48.880； 243—28.645； 224—08.410； 205—48.175；
261— 12.787； 242—52.552； 223—32.317； 204—12.082；
260— 07.195； 241—46.900； 222—26.665； 203—06.430；
闰Ⅵ—01.543； 240—41.308； 221—21.073； 202—60.778；
258— 25.450； 239—05.215； 220—44.920； 201—24.685；
闰Ⅶ—19.798； 238—59.563； 219—39.328； 200—19.093。

表4 第十九蔀 (丙午蔀，西元前199年---西元前124年)
【西元前199年岁前冬至：43.241】
年号 - 1章岁； 年号-2章岁； 年号 -3章岁； 年号 -4章岁
199— 43.000； 180—22.705； 161—02.470； 142—42.235；
198— 37.348； 179—17.113； 160—56.818； 141—36.583；
闰Ⅰ— 31.696； 178—11.461； 159—51.226； 140—30.931；
196— 55.603； 177—35.368； 158—15.133； 139—54.838；
195— 50.011； 176—29.716； 157—09.481； 138—49.246
闰Ⅱ— 44.359； 175—24.124； 156—03.829； 137—43.594；
193— 08.266； 174—48.031； 155—27.736； 136—07.501；
192— 02.614； 173—42.379； 154—22.144； 135—01.849；
闰Ⅲ— 57.022； 172—36.727； 153—16.492； 134—56.257；
190— 20.869； 171—60.634； 152—40.399； 133—20.164；
闰Ⅳ— 15.277； 170—55.042； 151—34.747； 132—14.512；
188— 39.184； 169—18.889； 150—58.654； 131—38.419；
187— 33.532； 168—13.297； 149—53.062； 130—32.767；
闰Ⅴ— 27.880； 167—07.645； 148—47.410； 129—27.175；
185— 51.787； 166—31.552； 147—11.317； 128—51.082；
184— 46.195； 165—25.900； 146—05.665； 127—45.430；
闰Ⅵ— 40.543； 164—20.308； 145—60.073； 126—39.778；
182— 04.450； 163—44.215； 144—23.920； 125—03.685；
闰Ⅶ— 58.798； 162—38.563； 143—18.328； 124—58.093。

表5 第二十蔀 (乙酉蔀，西元前123 年---西元前 48 年)
【西元前123年岁冬至：21.624]】
年号 - 1章岁； 年号- 2章岁； 年号-3章岁； 年号-4章岁
123— 22.000； (104—01.705。 转《太初历》：01.000。）
122— 16.348；
闰Ⅰ— 10.696；
120— 34.603；
119— 29.011；
闰Ⅱ— 23.359；
117— 47.266；
116— 41.614；
闰Ⅲ— 36.022；
114— 59.869；
闰Ⅳ— 54.277；
112— 18.184；
111— 12.532；
闰Ⅴ— 06.880；
109— 30.787；
108— 25.195；
闰Ⅵ— 19.543；
106— 43.450；
闰Ⅶ— 37.798。

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附件二

西元日期干支的推算
由中华古历日期与反溯上推的公历日期的对应关系，主要由日用干支相联系；因此，知道西元日期的干支，也成了历法计算的一个重要内容。作为一种方法，拙作《公历日期推干支的一种算法》（已上贴于“国学网”）可全文查阅。不过，用上述方法未免“科班”了些，并不为推步订谱时所实用，。比如，我为自己设计的一套“三次接近法”，用起来觉得比较简便。本方法于西元前公历日期的反溯因用的是儒略历为规则，特先声明。兹作为心得介绍如下：
一、查表定元旦日对应干支：按《儒略历》规则，公历年长365.25天，每80年为365.25×80＝29220（天），此数正好是六十甲子数的487 倍。由此知，在《儒略历》和以《儒略历》反溯的时间范围内，时间长相距80年，公历日期同月日，日干支名同名。每年元旦日亦然，由80个干支依次顺序循环使用即可。为此特制《元旦日干支八十顺序表》如下图。查法：
1、用所求西元年号除以80，得余数，即为元旦日干支八十顺序号。如需查西元前　…、1046、966、886、806、…、86、6　等年，西元年号对模80，等余为6（年号MOD80＝6）。又如查西元75、155、235、315、395、475、…　等年号对模80，等余为75（年号 MOD80＝75）。
2、对照《元旦日干支八十顺序表》查所求年份元旦日干支：
上面的例子西元前年号除以80，余数为6。正顺序十位数为0，个位数为6，对应于表上为“乙巳”。乙巳即为余数“6”所对应西元前年号元旦日的日干支。同上，用西元年号除以80，余数为75。西元后年号需查反顺序。反顺序十位数为7，个位数为5对应于表上第一行的“乙巳”。乙巳即也为余数“75”所对应的西元后年号元旦的干支。以上结果符合于时间长相距80年，公历日期同月日，日干支名同名的原则。
　　　　
《儒略历》元旦日干支八十顺序表
(年号除以80余数对应干支)
纵行 ：余数十位数 (↓西元前 / ↑西元后 )
横行 ：余数个位数 (→西元前 / ←西元后 )
\\\\ 0/- 1/- 2/9 3/8 4/7 5/6 6/5 7/4 8/3 9/2 -/1 -/0
0/7 丁丑辛未丙寅辛酉丙辰庚戌乙巳庚子乙未己丑甲申己卯
1/6 甲申己卯甲戌戊辰癸亥戊午癸丑丁未壬寅丁酉壬辰丙戌
2/5 壬辰丙戌辛巳丙子辛未乙丑庚申乙卯庚戌甲辰己亥甲午
3/4 己亥甲午己丑癸未戊寅癸酉戊辰壬戌丁巳壬子丁未辛丑
4/3 丁未辛丑丙申辛卯丙戌庚辰乙亥庚午乙丑己未甲寅己酉
5/2 甲寅己酉甲辰戊戌癸巳戊子癸未丁丑壬申丁卯壬戌丙辰
6/1 壬戌丙辰辛亥丙午辛丑乙未庚寅乙酉庚辰甲戌己巳甲子
7/0 己巳甲子己未癸丑戊申癸卯戊戌壬辰丁亥壬午丁丑辛未

3、以上查表法求元旦日干支，条件是设定西元元年元旦日干支为“丁丑”，并且严格遵从儒略历的规则。结合公历应用的具体，谨需注意：
(1)、公历前身是由罗马颁行的《儒略历》。由于主管历法的僧侣将“隔三年设置一闰年”规定，理解为“每三年置一闰”，于是将前45、42、39、36、33、30、27、24、21、18、15、12、9等13年，都置成为闰年。
(2)、西元前45年间，按规则共可安排12个闰年。《儒略历》头37年间，由于错失，就己置闰了13闰。于是罗马奥斯都于西元前8年时，进行改历，将西元前8至西元4年间全部更动为平年，以纠正其置闰过多的错误。于是，现在看到的西元元年以下的历表，西元4年的二月份，有安排为28天的，也有安排为29 天的，见仁见智 ，仍不统一。如果西元4年当平年，那么，无年的元旦日，其干支为戊寅，再不是“丁丑”日。
（3)、儒略历止于西元1582年10月5日。其第二天，依格里高利改历的规定，为10月15日。因此该年10月没有6至14日，给公历历史上留下了10天的空白。因此用本表限止于西元1582年10月5日以前。

二、第二步，由本年元旦日干支，查本年“元旦干支七遇”日期。所谓“七遇”，指的是每年元旦日干支都会在本年内循环七次。这七遇的日期非常好记：
平年 01/01, 03/02, 05/01, 06/30, 08/29，10/28, 12/27。
闰年 01/01, 03/01，04/3 0, 06/29, 08/28，10/27, 12/26。
公历闰年安排的规定：西元前年号的十位数为偶数和0时，个位数逢1、5、9时闰；年号的十位数为奇数时，个位数逢3、7时闰。西元后，逢4和4的位数之年置闰。
三、第三步，求具体日期的干支。因为己有了一年之内元月一日同一干支的七处分布月日，再下就是用六十甲子顺序来推算一年之内任一日期的日干支了。由十天干和十二地支组成六十甲子顺序的知识，年纪大些的中国人可以说是“如数家珍”。“子丑寅卯，…，合以甲乙，…， 庚辛壬癸，数周复始”，早先些年代本就是启蒙课的内容 。至如今，从事历史犹其是关心历法的学者，吾人觉得，干支也是“一典”，不可一旦弃之。总之是，有了元旦日“干支七遇日期”，配合六十甲子顺序表，某月日的日干支，就容易对照确定了。下附六十甲子顺充表供参考：

六十甲子顺序表

01甲子02乙丑03丙寅04丁卯05戊辰
06己巳07庚午08辛未09壬申10癸酉

11甲戌12乙亥13丙子14丁丑15戊寅
16己卯17庚辰18辛巳19壬午20癸未
21甲申22乙酉23 丙戌24丁亥25戊子
26己丑27庚寅28辛卯29壬辰30癸己
31甲午32乙未3 3丙申34丁酉35戊戌
36己亥37庚子38辛丑39壬寅40癸卯
41甲辰42乙巳43丙午44丁未45戊申
46己酉47庚戌48辛亥49壬子50癸丑
51甲寅5 2乙卯53丙辰54丁巳55戊午
56己未57庚申58辛酉59壬戌60癸亥

★ 本文于2003年11月至12月间，以《先秦历法研究》“之一”至“之六”上于国学论坛网之先秦两汉版。原是作为应邀写成讲座手稿形式上网的。承国学论坛精华录编缉樊　挺先生四次通过电子邮件往复勘校编排，始成一篇文章的模样。对于樊先生的辛勤会出，特致谢忱。原稿放了一年，经再次删补充实，部份作了较大的更动。

2005年7月1日 三稿于武汉梨园。

maximefr

转自 秋雁南回文学社区

易纬先生说：

那我先斗胆问问前段里的几个不解释之处。

1。 两次“日南至”是“至”哪里？？是指的“夏至”吗？

2。四分历和六分历的原理和具体操作是怎么回事呀？能大体说说吗？

3：记得以前先生说现在我们用“夏历”存在有的月份不中气的情况。如果“岁”是按中气的12个月来算的话。我们现在的“年”按传统定义就不好计算了。古人是怎么处理不“中气”的事情的？

4：古代我们的“日”都是按照太阳日来说的。 古代的时候是否注意过“恒星日”和“太阳日”的区别？

另外现在我们用四年闰一天的方法来平衡太阳日和恒星日用来计算“年”长度上误差的积累。那么这个区别在我们古代是如何给“平衡”掉的？？

另外冒昧进言，先生海涵：先生表示分数的时候能不能这样？

29. 499/940 = 29.5308510(天)-----------------------29+499/940 或者299又499/940。

这样表示分数更加一目了然，毕竟一般情况下我们看到“.”就当成是小数点了。

七秩龄童先生答：

1、日南至：指太阳移到最南边时的位置，也就是用目测可以确定为冬至日那天太阳所处的位置。古人以日南至为一岁的开始，用两次“日南至”之间的时间长为一岁（即一回归年）之长。

2、四分历：古人由目测积累的数据76岁（年）有27759天（实际平均长27758.4072天,古人取约数为27759天）,除以76,得一岁之长为 365.25天，读之为三百六十五天又四分之一天，故古人名岁策为365又1/4天长度的历法为“四分历”。原理和具体推步操作方法请参见己上网于本版的《遗世历术宝典〈历术甲子篇〉解读 》。又我不知何为“六分历”

3、中气不在当令月份的问题，古四分历时不存在这个问题。这个问题出现于在历法中采用“定气”之后。请参见上文献资料版的网文：《一O三经朔华夏历谱稿 》。相关段文摘录如下：“就定气说，因定气气距极不均匀，破坏了中华传统历法规定的，每一中气必与一个固定的月名相连系的规矩。因为按古历法推步，“没有中气”的月份，只在每相距约 33.57朔望月才可能出现一次，既出现了没有“中气”的月份，也必要求安排“闰月”。现在换为以天象定气打乱了这一规距，无中气之月不在当闰之年的有，如1985年正月；一年出现两次没有中气的月份也有，如出2033年；甚至一次遇闰发生三个可闰的月份也有，如2033年出现两次无中气空档之后，又出现 2034年第二个月也在置闰之列等，这也为中华历法所不相容的。”

4、历法与天象所产生的误差不出在“太阳日”和“恒星日”上，而是出在用肉眼观测的精度上。历法上消除“积差”的方法己上于网文“《太初历》与《三统历》探微”记述的有：

（1）、公元前104年实行〈太初历〉：“司马迁在《史纪·历书》中关于太初制历的过程只有下面几句话：“至今上即位，招致方士唐都，分其天部；而巴落下闳运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。”唐都是司迁父亲司马谈的天文老师，是司马迁的前辈。负责“运算转历”的是来自民间的历算“畴人”落下闳。本来，就太初制订历法的根本目的而言，主要是修正老历执行过久因精度而产生的积差，按天象实际给予以修订，制订历法的主要任务也就完成了。落下闳很可能献出了用于《殷历》的师门秘籍《历术甲子篇》，据以移动一章，去日分705分，也就密近天象了。这就是上文中“然后日辰之度与夏正同”的要义。”

（2）、公元86年实施〈东汉历〉：“《太初历》使用止于东汉章帝元和二年（公元85年），岁前十一月朔日癸未。时由编 沂、李 梵创制实施的《四分历》，世称《东汉历》或《后汉历》。 该历以汉文帝后元三年（前161年）岁前十一月朔日甲子0分作历元起历。由于前161年《殷历》朔日为乙丑，而密近天象的交朔时间为甲子596分，《东汉历》预去其日分，等于削去了古四分历的积差，相当于将老历的历数提前一日，故自动密近了天象。由《东汉历》算得，汉章帝章和元年（公元87年）为以前 161年为历元算起的第蔀岁第二章岁首岁，岁前十一月交朔历数为庚子705/940分。将此数与上表末栏括号中的历数对照,《东汉历》实际起点的历数，与天象已很密近了。”

maximefr

易纬先生问：

现在又有个原始的问题没搞明白。为什么古人选择76年来四分呢?而不是别的数目?

七秩龄童先生答：

一蔀岁分为四章岁的理由，可由古四分历的历理推知：

1、四分历每一蔀岁中，冬至与交朔同日同时的机会有四次，除了在蔀首是建子之月的初一日夜半子时交朔且逢冬至交节外，另外三次为初一日的酉、午、卯时“交朔冬至”，加上首次的“夜半子时”，每76岁（年）天间隔相等的19岁（年）时间，有四次建子之月初一日交朔冬至同日同时的机会，也就是每76岁（年）作一大节奏中，还共有四次阴历和阳历相和谐的小节奏，因而分为四章岁，每章岁时间长19岁（年）。

2、一蔀岁76岁（年）中，共计含940个朔望月，但只含912个中气气距。按平均一年分十二个月之算，也只能容得下912个朔望月，多余了28个朔望月，得作为闰余的月份。这多余的28个月分作四分，每份七个闰月，作为周而复始的“闰周”，又正好是19年（岁）一个闰周，因此，以19年为一章岁，也称为“闰章之岁”。

当然，这只是古四分历的分法。也可能，也可以有其它有分法。比方说，八十一分历就取消了“蔀岁”的称呼。祖冲之就对以19年为一“闰周”作过调整。唐季武德二年（619年）实施《戊寅元历》时，也有过废除“闰周”之议。但实际上，我们将两千多年来闰月安排的实际作一统计性分析，就会发现，以十九年为一闰周，是一条日月运行合乎节奏的自然规律。我在《一O三经朔华夏历谱稿》：于（“一O三”把握中华历法科学阴阳和谐的节奏的一个专题）“（三），闰轮循环有周期”中，有较详尽的论述，请参阅上于复兴华夏论坛“文献资料”版的《一O三经朔华夏历谱稿》有关文段。

请多教正！

又见南山先生说：

恕我直言，我读了君的文章后，不同的看法太多，最重要的是整个推算有根本性的错误！你把《三统历》的术语方法用到〈太初历〉上是一种致命错误！！

每个历法的所用的概念、方法都是自成系统，有机结合的，不能随便将A历法的方法“借用”到B历法上。

在未论说前，先说说历法中的年、月、日是怎样编排的，历法中的年、月、日是这样排定的：

一、 以日排月，余满设大。

即把朔望月周期按整数日而编排，不足一日的，余数部分就归入下一个月。这个上个月累积下来的多余部分，就是通常说的本月“小余”。当“小余”与本月的余数部分累积满一日时，这个月就多一日，设为大月了，如此周而复始。

所以在《甲子篇》中，如果本月的“小余”大于940-499=441时，就是大月（因为本月也要累积499的小余，所以如果大于441，就积满一日了）。同理，在《三统历》中，小余大于81-43=38时就置大月了。

这是个简单的问题，一般人也不会弄错。

二、以月排年，余满置闰

即把回归年周期按以整数的朔望月编排。同上述“以日排月”的方法一样，当余数足够一个朔望月时，就多一个闰月，设为闰年。不足一个朔望月的，就将余下的转入下一年，如此周而复始。

楼主就在这问题上弄错了。

我之所以不厌其烦地说这个简单的问题，因这个问题至关重要。

或许会有一部分学文史的人，会被众多的术语搞乱，知其然而不知其所以然。如果只讨论其纪时部分，其实古代历法的不外是三个轮子转合的机器：（在古代天文学家的眼里犹是如此）

1、年的轮子（周天、岁实等，用来回归年周期），

2、月的轮子（朔策、月朔等，用来朔望月周期），

3、日的轮子（日法）。

所以只须知道三个轮子的周期，及起始点的选择，就能推整个历法体系。中间的那些复杂的术语，不过是古人为述说和计算方便而创造的，其实现代只需用一些简单的初等数论方法即可获得

我肯定楼主不知道“十九年七闰”是如何而来的！不然不会把《三统历》“十九年七闰”借用到《太初历》上了。

“十九年七闰”中所采用的方法不是一种简单的人为规定，而是按照本身历法系统的基本参数（周天、朔策、日法）严格推出的。

《三统历》的“十九年七闰”的置闰方法是这样来的：

1、由于三统历的回归年是365又385/1539日（562120/1539），朔望月是29又43/81日(2392/81)，所以

2、每一年，回归年排了12个朔望月后，尚有365 385/1539 - 12×29 43/81 = 10 1354/1539 日，即每年就有10又1354/1539 日转入下一年。

3、用对比法10 1354/1539 与 29 43/81比较这两个数（用前者除以后者），会发现它们之比是7/19，即每一累积19年就刚好有7个朔望月，周而复始！

4、古人为了简化计算，设10 1354/1539与 29 43/81之间的公因数2392/1539日为一分（由（10 1354/1539）/7，或（29 43/81）/19求得）。如此，则每年有七分的积余（10 1354/1539日），如果连本年积余在，内满十九分（29 43/81日）就置一个闰月。由于本年也有七分积余，所以连岁首积余超过19-7=12分（后世所谓闰限12）时就就置一个闰月，该年就是闰年了。这就是 “十九年七闰”的置闰方法由来

《甲子篇》也是一样：由于甲子篇的回归年是365又1/4日（1461/4），朔望月是29又499/940日，每一年，回归年排了12个朔望月后，尚有365 1/4 - 29 499/940 = 10 827/940 日，即每年就有10又827/940 日转入下一年。由于10 827/940 与 29 499/94之比是7/19，即每一累积19年就刚好有7个朔望月。为了计算，可设一个10 827/940与 29 499/940之间的公大因数（1461/940日）为一分。如此，则每年刚好七分积余（10 827/940），满十九分就置闰月。余皆同上。

由于“十九年七闰”不是一种简单的人为规定，而是按照本身历法系统的基本参数严格推出。“十九年七闰”的置闰方法在《三统历》中用没错，在《甲子篇》中用也没错，但用在楼主设计的“太初历”上就大错特错了。

试想，如果你的太初历”按十九年七闰，则：

1、19个归回年共有积日：19×365 1/4=6939 3/4日

2、7个闰月共有积日：（7+12×19）×29 43/81=6939 61/81日

6939 3/4不等于6939 61/81，两者根本不能重合，怎么可能周流复始呢？

你自已用节气的计算方法检验一下吧，用《三统历》的节气推算法，冬至每年推行策余8080计算（8080/1539天），19年后所得的小余1159 /1539，刚好与月朔的小余61/81重合（1159/1539 = 61/81）；按你的节气推算法，冬至每年推进5 8/32天，19年后小余是24/32，与月朔的小余61/81不重合，两者相差1/324天。差之毫厘，谬以千里，这种细小的相差，积以多年就大了。况且这种不协的是系统内的不协（不是与天象的不协）。如果你真根据“太初历”按365 1/4排历的话，到第十九年根本不能置闰的，因为差1/324日才够一个置月！！

说了这么多话，其它就只说一个问题：用三统历的方法推太初历根本行不通，因为你不合理地采用了另一个历法系统的方法，实则是更改了起始参数，如果勉励排出来，排出来的也只是《三统历》而非《太初历》！！（你自已想想，你何曾用过大365 1/4）这个参数。上述的错误是一个历法系统内不能周而复始的根本问题，不是修改一两句话可解决的，请参详！

又见南山先生说：

易纬先生问：“现在又有个原始的问题没搞明白。为什么古人选择76年来四分呢?而不是别的数目?”为了让不太熟识历法的人也更容易明白，我以较简单的《甲子篇》为例，说说为何会有章、蔀、纪、元概念，希望对楼主也有帮助。

基本数据：岁实：365 1/4 日

月朔：29 499/940 日

1、章。章就是年、月重合的周期。由于回归年和月朔之比并不是整数。对比两数，即可得出（365 1/4）/ （29 499/940） = 235 / 19，即19年内有235个朔望月，前面已说过十九年七月及其置闰方法的由来，不再重述。此时：

1章 =19 年

1章 =235 月

1章 =6939 3/4 日

2、蔀。蔀是年、月、日重合的周期。由于每章中所含的日数是6939 3/4日，不是整数。于是以余日3/4的分母4章为一蔀，这样日子也是整数了，即：

1蔀=19×4= 76年

1蔀=235×4= 940月

1蔀=6939 3/4×4= 27759日

3、纪。纪就是年、月、日重合，且日子干支相同的周期。由于上述一蔀之中有27759日，古代是用60干支纪日的，每一蔀共运行462周甲子另39日。即每蔀中日的起始干支并不相同，于是引入年、月、日重合且日子干支相同的周期为一纪。显然周期数就是27759日与60日的最小公倍数，即555180日，故每纪有20蔀，即：

1纪=76×20=1520年

1纪=235×20=18800月

1纪=27759×20=555180日

4、元。元就是年、月、日重合，且日子干支、年干支相同的周期。由于一纪之中有1520年，古代是用60干支纪年的，每纪共运行25周另20年，即每纪中年的起始干支并不相同，于是引入年、月、日重合，且日子干支、年干支相同的周期为一纪。显然周期数就是1520年与60年的最小公倍数，即4560年，故每元有3纪，即：

1元=1520×3=4560年

1元=18800×3=54600月

1元=555180×3=1665540日

楼主不明白古人设计历法的原意，只根据年岁的相近，糊乱地将《甲子篇》及《三统历》的年岁对比（如将1520对比1539，4560对比4671），而不知道两者概念间的历法意义不同。

1、《三统历》和《甲子篇》中，19年为一章的历法意义是相同的，大家都是年、月重合的周期。

2、《三统历》中的1539年这个数字在《甲子篇》中与之相对的概念是蔀76年，因大家都是年、月、日重合的周期，而非楼主所以为的1520年！！不同历法意义的词对比有什么意义？！76年这个数字在《三统历》中没有多大的现实意义，这就是为什么刘歆不大说这个的原因。

3、《三统历》中的4671年这个数字在《甲子篇》中与之相对的概念是纪1520年，因两者都是年、月、日重合且日子干支相同的周期，而非楼主所以为的4560年！

请楼主在搞历法的对照前，先弄清楚各概念的历法意义。

我看了楼主的几篇文章，发现所用的都是很落后的排表逐日推算法，如果是为初入门说法，用表列法把情况列出来自然是很直观方便，但用它作推算却不是历家的所用方法。由于方法远落后于作为数学家的刘歆所用的方法（也未弄懂刘歆所用的方法），所以文章中有很多对刘歆方法的评论均是不当失实之词。

由于“表列法”掩盖了术语间的数量关系，所以楼主也未领会刘歆所用的数学原理及立法原意。事实上，刘歆及以后的所用历学家也不采用《史记》时代的“表列法” 描述历法了。我个人研究《甲子篇》也从未编你这样的历表，而是根参数归结其原理，总结为两组公式，如此系法系统内，任何一年一月，其是否闰年、大月还是小月，大余多少（这个就是干支了）、小余多少，也可简单推出。

翻开汉书历律志可知，刘歆采用的是后世通行的“公式法”：专为同行说法，掌握原理就行，只需罗列出各种算历所需的原理和方法，至于具体的逐日排表，那是任一个略懂计算的下手做的事！他不需⒁膊槐匾?舐ブ髂茄?耙徽乱徽碌赝?屡磐?1章1539年”！！采用“公式法”还有计算日月食、五星会等内容，岂是列表法所能做到的。请先细读《汉书历律志》。

七秩龄童先生：

与又比南山先生商榷

由《汉书-律历志》记载，汉武帝于公元前104年所颁行的历法《太初历》，用的是“邓平所造八十一分律历”，也就是刘歆所总结为的《三统历》。其“法，一月之日二十九日八十一分日之四十三”，也就是取一朔望月之长为29.43/81天。 1、问题出在：遍查原书,没有用肯定的文字介绍该历岁长,即一回归年的长度取多少天?其它典藉介绍其法,是用1539年除以所含“日分量”562120分的方法间接算来，得为365.385/1539 天。书中有“策余八千八十”一句，也相当于介绍了其岁之长为 360天又1359分之8080天。360天是六十甲子的整倍数，“大余”为零，其日分量以1359分计之，小余为“8080”分，是“策余八千八十”的来源。数字8080，以四分之八分之都好办，所以在该书“三统术”一章，介绍了“求八节”的方法是“加大余四十五（天），小余千一十（分）。”也就是八分一回归年时,将360.8080天以8除之,得45.1010天。但这儿的“小数”1010分，其分母不能用日分81分，而用的是将一天分为1539分计算的了。该书也介绍了“求二十四气”法，为“三分（算八节用的）小余（1010分），加大余十五（天）。”三分1010分（的所谓小余）是多少分呢？不是整“小余”分数了。这就造成了用历法推步中，加大了推算二十四个节气和十二个中气的难度，不得不仍用古四分历的节气,以简便计算的方法了。 2、八十一分历一回归年取长为365天又385/1359天，换算成十分制表示法为365.2501624天。与古四分历岁长取365.25天相比较,一岁长了0.0001624天。用古四分历法，以岁长用365.8/32天,或用360天又32分之168(小余)分,的方法,其整天数(大余)360天，用3、4、8、12、24都可以得为120、90、45、30、和15天的整大余数，其小余168分，也可以相样分得为56、42、21、14和7分的小余整分数。如此就方便了历法的节气推步计算。从八十一分历比古四分历年浮0.0001624天来说，推了一千年也才误差十分之一六天，虽有“毫厘之差”也无“失之千里”之患。上为采用古四分历之法于《太初历》推节气在精度上的把握。要之说，古四分历与《太初历》或《三统历》是在同一精度水平上的历法，故无妨于相互在必要时的替代。 3、用《历术甲子篇》的古四分术于《太初历》或《三统历》，虽有“张冠李戴”之嫌，也因有不得己而为之的缘故：于三统历而言，一岁中再细分之，除了用九分之外，没有用八十一分历表示的整分数，不“便便”也。二是用此法非自我始，而是在史藉中有例可寻，照例行事而己。在《汉书-律历志》一书中，古人孟康作了许多注译，其为“八十岁则甲子冬至”条曰：“一甲子六十日，一岁（的整天是）三百六十日，八十岁，得四百八十甲子。又（其零天）五日，五八四十，为四百日。又（其日分量）四分之一日，八十岁（的小余）有八十（个四分之一）分，八十（个四分之一）分（以四除之）为二十日，（四百天加二十天）凡四百二十日，得七甲子。八十岁合四百八十七甲子，余分皆尽，故八十岁则一甲子冬至也。”他说的是历八十个回归年为29220整天，除以60，合487甲子，没有余分，所以相距为八十年时，又逢干支同名、同时辰冬至。孟康的解释，用于现在的注释公历，仍旧如此：当不遇百年缺闰情形，历80年，也是日期同名，日干支同名。如出2001年元旦日为甲子，则1921年与2081年元旦日同为甲子日是。因为现在的公历，在不遇百年减闰情形时，所采用的公历年长与古四分法相同，同为365.25天。

上为一人所见地，欢迎大家再批与评。

maximefr

又见南山先生说：

呵呵，君也明白我一向的辞风是如此，不要怪我。你似乎还未明白我的意思，请先细看我前面的话。

问题不是出在两种历法是否是处于“同一精度水平上的历法”，而是出在历法的和谐原则上！

如果真如你所说的那样365 1/4 和 365 385/1539只相差0.0001624天，不会有影响历法的话。你想想，作为数学家的刘歆又怎么会笨到不用那个简单而又方便的365 1/4周期，而用那个复杂的365 385/1539呢？——无他，365 385/1539可以周而复始，达至和谐也。你现在使用了每气节15 7/32日，就等于使用了一年365 1/4 天啊。（你再用心想想，刘歆为何会舍简单的不用，而花篇幅去论述解释他那“复杂”的岁策余8080，八节1010，难道他就只说不算？）

差之毫厘，谬以千里，不单单体现在每千年误差多少天上（我上面也说过，19年它相差1/324日，要6000多年才误一日），但更重要的是体现在“进位”上！！

打个比喻：你应很清楚，在四分历中，小余要达到441才能进一日成为大月的，换句话说即使小余是440误差不到1/940日（1/324日小多了）时，也不能进位成为大月。

同理，根据到了19年，它的余数不足以达到一个朔望月时，它就不能设置闰年了（几个十九年后误差更明显了），这样就同你设置闰了年的历法编排大异了。这就是差之毫厘，谬以千里的原因。

君只是以很表象上的“总天数差不多”来思考，而不细想内里的编列是否不同，想法有点粗糙！

请细看上述我关于为何“十九年七闰”的叙述（我发觉你真的不明白十九年七闰从何而来），明白了其中原理，也就会明白为何祖冲之等为何所采的闰法有不同。

古人制历，大都是先用圭尺测算出岁实、月朔等基本数据，然后经精心选择，根据这几个基本数据而演绎出整套历法体系的，体系内各个概念是均有机相关的。我看你并未掌握这套方法，以致很多的理解只停留在表面的对比上。我认为掌握这门方法，你对各种历法的理解会深刻得多。

重申一下，你所用的每气节15 7/32及月朔29 43/81与“十九年七闰”是不协的概念，并不能周而复始。年、月之点不能在十九年后重合。所借用的这个“十九年七闰”的零件，对你设计的整机器而言，是个不合身的齿轮！

又见南山先生说：

为了配合君排表的习惯，也使问题直观些，我把使用365 385/1539和 365 1/4相对于月朔29 43/81，十九年中的置闰情况，按古人排历的方法排出，从中你会领会到即使细微的差别也会引起很大的不同。

第一年：

A：接上无余数，365 385/1539日可排十二个月，余下365 385/1539 --29 43/81×12=10 1354/1539，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上无余数，365 1/4日可排十二个月，余下365 1/4 --29 43/81×12=10 285/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第二年：

A：接上余数10 1354/1539，共376 200/1539日，可排十二个月，余下21 1169/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数10 285/324日，共376 42/324日，可排十二个月，余下21 246/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第三年：

A：接上余数21 1169/1539，共387 15/1539日，可排十三个月，余下387 15/1539—29 43/81×13=3 167/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数21 246/324，共387 3/324日，可排十三个月，余下387 3/324—29 43/81×13=3 35/324，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第四年：

A：接上余数3 167/1539，共368 552/1539日，可排十二个月，余下13 1521/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数3 35/324日，共368 116/324日，可排十二个月，余下13 320/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第五年：

A：接上余数13 1521/1539，共379 367/1539日，可排十二个月，余下24 1336/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数13 320/324日，共379 77/324日，可排十二个月，余下24 281/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第六年：

A：接上余数24 1336/1539，共390 182/1539日，可排十三个月，余下390 182/1539—29 43/81×13=6 334/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数24 281/324日，共390 38/324日，可排十三个月，余下390 38/324—29 43/81×13=6 70/324，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第七年：

A：接上余数6 334/1539，共371 719/1539日，可排十二个月，余下17 149/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数6 70/324日，共371 151/324日，可排十二个月，余下17 31/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第八年：

A：接上余数17 149/1539，共382 534/1539日，可排十二个月，余下27 1503/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数17 31/324日，共382 112/324日，可排十二个月，余下27 316/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第九年：

A：接上余数27 1503/1539，共393 349/1539日，可排十三个月，余下9 501/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数27 316/324日，共393 73/324日，可排十三个月，余下9 105/324，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第十年：

A：接上余数9 501/1539，共374 886/1539日，可排十二个月，余下20 316/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数9 105/324日，共174 186/324日，可排十二个月，余下20 66/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十一年：

A：接上余数20 316/1539，共385 701/1539日，可排十三个月，余下1 853/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数20 66/324日，共385 147/324日，可排十三个月，余下1 179/324，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第十二年：

A：接上余数1 853/1539，共366 1238/1539日，可排十二个月，余下12 668/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数1 179/324日，共366 260/324日，可排十二个月，余下12 140/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十三年：

A：接上余数12 668/1539，共377 1053/1539日，可排十二个月，余下23 483/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数12 140/324日，共377 260/324日，可排十二个月，余下23 101/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十四年：

A：接上余数23 483/1539，共388 868/1539日，可排十三个月，余下4 1020/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数23 101/324日，共388 182/324日，可排十三个月，余下4 214/324日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第十五年：

A：接上余数4 1020/1539，共369 1405/1539日，可排十二个月，余下15 835/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数4 214/324日，共369 295/324日，可排十二个月，余下15 175/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十六年：

A：接上余数15 1020/1539，共380 1220/1539日，可排十二个月，余下26 650/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数15 175/324日，共380 256/324日，可排十二个月，余下26 136/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十七年：

A：接上余数26 650/1539，共391 1035/1539日，可排十三个月，余下7 1187/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。

B：接上余数26 136/324日，共391 217/324日，可排十三个月，余下7 249/324，余数转入下年。该年13个月，闰年。

第十八年：

A：接上余数7 1187/1539，共373 33/1539日，可排十二个月，余下18 1002/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。

B：接上余数7 249/324日，共373 6/324日，可排十二个月，余下18 210/324，余数转入下年。该年12个月，平年。

第十九年：

A：接上余数18 1002/1539，共383 1387/1539日，可排十三个月，余下383 1387/1539--29 43/81×13=0日，无余数转入下年！该年13个月，闰年。

B：接上余数18 210/324日，共383 291/324日，可排十二个月，余下383 291/324 —29 43/81×13= 29 171/324（小于一个朔望月，不可置闰），余数转入下年。该年12个月，平年。

以上就是两种历法按照原始方法“满则置闰”的方式所排的十九年，A的是三统历，B就是楼主所设的历法。可以看出，两种体系同样在第3、6、9、11、14、 17都闰，但到了第十九年，B历法由于未达到置闰的要求，就不能置闰了。于是两种历法的差异就出来了，这就是我上贴中说差之毫厘，谬以千里的原因。

这也可以看作是“为何会有十九年七闰”、“为什么要这样闰” 的直观的说明。在实际计算时当然可以用数学的方法简化一点，以A历为例，可知每年就产生10 1354/1359 日的积差，如果连本年的积差在内，大于一个朔望月时就要置闰月了。为了简化计计算，可根据10 1354/1539与朔望月29 43/81的比例（7/19），可引入一个量，使它们化成整数计算。设1分=2392/1539日，那么每年积差就是七分，29 43/81日就是十九分。这就是汉书中所记置闰方法的内容。由于只记载了使用方法，就容易使一般人知其然而不知其所以然了。

在古代，历法要考虑的是年、月、日周期的重合，气节、置闰的协调。历法有快有慢，体系内必需统一一致，东抄一段，西抄一段，谁不会做？！抱这种简单的想法事实有点粗疏。

又见南山先生说：

再举一个”差之毫厘，谬以千里“的例子：
大家大约还记得台湾与紫金山关于2047年置闰的差别吧，两种都是同一种的历法，只在推算节气时，可能只是小数点后几位的差距。就因这个细微的差距，一到“进位”时就会引起极大的差异了，以致使一年内很多天的历法都不同！
可不慎哉！

maximefr

七秩龄童先生：

与又见南山先生商榷之二

承蒙先生熟心指教，毋任感谢。先生为了说明意旨，举出了首章十九岁以数律推“三统”为算法例，以明其所以，费心了。可能由于先生没有真正亲自动手编制过历法，没有注意到在历法编制过程中必需照顾到的方方面面，所以先生所编十九年（一章岁）的历数，无论是 A 算，还是 B 算，古人无此排法，也与实际相去甚远！先生所拟 B 算，是仿我设的“历法”的，那不是我的“历法”。A 算是先生以为符合刘歆法的算例，也只形似而不是实用的“刘歆历法”。为了便于讨论，兹引先生 A 算原文为例，与先生商榷。先生 A 算原文摘于下： “为了配合君排表的习惯，也使问题直观些，我把使用365 385/1539相对于月朔29 43/81，十九年中的置闰情况，按古人排历的方法排出，从中你会领会到即使细微的差别也会引起很大的不同。 第一年： 接上无余数，365 385/1539日可排十二个月，余下365 385/1539 --29 43/81×12=10 1354/1539，余数转入下年。该年12个月，平年。 第二年： 接上余数10 1354/1539，共376 200/1539日，可排十二个月，余下21 1169/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第三年： 接上余数21 1169/1539，共387 15/1539日，可排十三个月，余下387 15/1539—29 43/81×13=3 167/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第四年：接上余数3 167/1539，共368 552/1539日，可排十二个月，余下13 1521/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第五年：接上余数13 1521/1539，共379 367/1539日，可排十二个月，余下24 1336/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第六年：接上余数24 1336/1539，共390 182/1539日，可排十三个月，余下390 182/1539—29 43/81×13=6 334/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第七年：接上余数6 334/1539，共371 719/1539日，可排十二个月，余下17 149/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第八年：接上余数17 149/1539，共382 534/1539日，可排十二个月，余下27 1503/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第九年：接上余数27 1503/1539，共393 349/1539日，可排十三个月，余下9 501/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第十年：接上余数9 501/1539，共374 886/1539日，可排十二个月，余下20 316/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十一年：接上余数20 316/1539，共385 701/1539日，可排十三个月，余下1 853/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第十二年：接上余数1 853/1539，共366 1238/1539日，可排十二个月，余下12 668/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十三年：接上余数12 668/1539，共377 1053/1539日，可排十二个月，余下23 483/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十四年：接上余数23 483/1539，共388 868/1539日，可排十三个月，余下4 1020/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第十五年：接上余数4 1020/1539，共369 1405/1539日，可排十二个月，余下15 835/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十六年：接上余数15 1020/1539，共380 1220/1539日，可排十二个月，余下26 650/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十七年：接上余数26 650/1539，共391 1035/1539日，可排十三个月，余下7 1187/1539日，余数转入下年。该年13个月，闰年。 第十八年：接上余数7 1187/1539，共373 33/1539日，可排十二个月，余下18 1002/1539日，余数转入下年。该年12个月，平年。 第十九年：接上余数18 1002/1539，共383 1387/1539日，可排十三个月，余下383 1387/1539--29 43/81×13=0日，无余数转入下年！该年13个月，闰年。”

1,第一年：因为可供排历的天数有365又385/1539天，“可排十二个月”是正确的。十二个月历日六大六小，共积日为354天，余下的是11又 385/1539天，而不会是10.1354/1539天。 先生错在用减: 29.43/81×12=354.30/81=354.570/1539天,以为转入下一年为10.1354/1539天! 第一年十一月初一日(戊午)81分之30分(=385/1539分) 交朔，十一月十一日（己巳）32分之8分(=384.75/1539分)冬至。依《三统历》术则为己巳日365/1539分冬至。 2,第二年：“接上余”不是376.200/1539天,而是376.770/1539天。平年，排十二月，六大六小，为354天，共积天数708天。下余22.770/1539天转下年，而不是下余21.1169/1539天! 第二年十一月初一日(壬子)81分之60分(1140/1539分)交朔,十一月二十三日(甲戌)32分之16分（769.50/1539分）冬至。先生错同上。 3，第三年：“接上余”不是387.15/1539天,而是387.1155/1539天。闰余14，本年闰，十三月，七大八小，384天，累前两年积 1092天。余3.1155/1539天,而不是先生算的3.167/1539天! 第三年十一月初一日(丙子)81分之52分(988/1532分)交朔,十一月初四日(己卯)32分之24分(1154.25/1539分)冬至。 4，第四年：“接上余”不是368 .552/1539天,而是368.1540天。平年，十二月，因为岁初十一月交朔时间为81分之52分，大于51分，有七大月五小月，共355天，累前共积1447天。余13.1540/1539天。 第四年十一月初一日（辛未）81分之1分交朔，十一月十五日（乙酉）0分冬至。 5，第五年：“接上余”应是379.386/1539天。平年十二月，六大六小，354天,累前共积1801天。余25.386/1539天。十一月初一乙丑81分之31分交朔。十一月二十六日（庚寅）32分之8分冬至。 6，第六年：“接上余”应是390.771/1539天,闰余16,闰三月，有十三月,七大六小,384天,累前共积2185天,余6.771/1539 天。十一月初一（已丑）81分之23分交朔，十一月初七（乙未）32分之16分冬至。 7,第七年：“接上余”应是371.1156/1593天。平年十二个月，六大六小，354天，累前共积2539天。余17.1156/1539天。十一月初一日（癸未）81分之53分交朔，十一月十八日（庚子）32分之24分冬至。 8，第八年：“接上余”应是383.2/1539分。由于上年交朔日分为81分之53分,大于界限之51分,本年平年,七大五小,有355天,累前共积 2894天。余28.2/1539天。十一月初一日（戊寅）81分之02分交朔，十一月二十九日（丙午）00分冬至。 9，第九年：“接上余”应是393.387/1593天。闰余18，闰年前十二月。由于头年十一月交朔日分量只81分之2分，低于闰年384天的8/81 分条件，本闰年十三月,六大七小，383天。累前共计积日3277天，下余10.387/1593天。十一月初一日（辛丑）75/81分交朔，十一月十一日（辛亥）8/32分冬至。 以上举九年算式，己包括可能遇到的四种年型354天、355天、383天和384天的历法推步处理方式，为省篇幅，第十至十八年推步略，下接本章岁的第十九年。 19，第十九年：“接上余”应是384.1159/1539天。闰余12，闰十月，有十三月,七大六小,384天。累前共计积日6939天,下余1159 /1539天。十一月初一日（癸卯）81分之61分交朔，十一月初一日1159/1539分（合24.099/32分,省称为24/32分）冬至。 《汉书-律历志》：[历谱]一（章岁）甲子元首，汉太初元年；二（章岁为）“癸卯”，与上算合。又谓：“从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一。”本算例从元（统）首甲子1起，加39为40，得为癸卯，恰合。小余加81分之61分，亦合。交朔初一日81分之61分，合1359分之1159分；冬至初一日32分之24分亦合1539分之1159分，故可称之为初一日同时辰冬至交朔，合于《三统历》历理。 先生的贴子一而再，再而三提到律数问题。由先生上面的算例知，先生个人对历法数律的理解走题了。欢迎先生再多提意见，共与商研。

maximefr

又见南山先生说：

呵呵，原来先生一直是这么理解。

月份在用29，30，年用354、355、383、384是后天的概念。它是根据回归年、朔望月派生的，这两个参数才是历法的源头，它是根据历朝的制订者根据圭尺实际测定，以更合天象的。年月均是整数日，这个我岂会不知！但这个只是根据原理的结果，在制历时是必须直用原理的。你想想，历代的历法月份都是29，30。年都是354、355、383、384，根据你这样的排法岂非可只排编成一样？！那那古代的历学家拿起笔就可随意编历法了，何必设精密的器具观测。

你说：

《汉书-律历志》：[历谱]一（章岁）甲子元首，汉太初元年；二（章岁为）“癸卯”，与上算合。又谓：“从其统首起，求其后章，当加大余三十九，小余六十一。”本算例从元（统）首甲子1起，加39为40，得为癸卯，恰合。小余加81分之61分，亦合。交朔初一日81分之61分，合1359分之1159分；冬至初一日32分之24分亦合1539分之1159分，故可称之为初一日同时辰冬至交朔，合于《三统历》历理。

——何必用似是而非的词言扰乱读者。在本例中，大余是39干支是癸卯，这大家都是无异议的，因为都经过了6939日，问题是冬至初一日“32分之24分”如何会”亦合1539分之1159分“呢？大家的数学不是都有问题的吧！！！

先生多虑了：排历表是任一个学古历法的人的基本功，任何一个有心学习的人不尝试排十次八次是不会死心的，我又怎会连这个也没学过呢。问题是如何走出来这一步，向更高一层次发，以立法者的角度思考，直指原理。

如果先生是这么理解，我们也就失去了共同的基础，再讨论下去也无必要，只好留待有识者断定。不过先生可多留意近人一些数理天文学的著作（不是叫你盲从他，这个我最反对），对比自已与别人的距离。或自已留意一下各朝历法中回归年与朔望月的比例、与置闰方法间的关系，看看它们是否的协调一致。再尝试一下用更基本的回归年与朔望月排一个朝代的历法（不是用月数29，30，年数354、355、383、384这个每个朝代都相同的后天数据。），再想为什么制历者要采用这么复杂的数字，而不用简单的或许有更多的发现。

言尽于此。

补充一句，

后世历朝的历法都有一个概念描述回归年减去12个朔望月的量。它是计算如何置闰年的依据，请君查看！

你未理解积余恒定的原理。你再细想置闰方法中每年七分的意思，如果如你算每年所余的大小相差这么大（第一、二年多些，到第三年闰年时就大减了），如何会统一为每年积七分呢？

又见南山先生说：

确定置闰年的方法很简单：

这个量×（年数—1），除以朔望月策数后，看它的余数是否大于闰限（朔望月减去这个量），大于的是闰年，小于的是平年。

这和三统历的置闰方法数学原理一样。请先生多看历朝的律历志，明白其中的数学原理。

还有，先生好象一直不了解“章”的历法意义。“章”在古代一般是第一个历法意义点，是年、月周期的重合。古历书前几句话一般就先交待章岁多少，章月多少，那就是年、月重合的周期。但你设计的历法何尝有重合？原全失了回环复始之意。

祖冲之设计历法时，虽然计算可能麻烦一点，也不厌其繁规定391年一章，每章4836月。无他，历法要协调一致，回环复始也！（其回归年是365 9589/39491，月朔是29 2419/4559）

先生可参看我前面说过的话，再回看看其他的历法。

maximefr

七秩龄童先生：

与又见南山先生商榷之三

先生说“如果先生是这么理解，我们也就失去了共同的基础，再讨论下去也无必要，只好留待有识者断定。....言尽于此。”正自遗憾，以为我们的研讨会“不欢而散”，勿又见先生“言犹未了”，接着连上了一串贴子，才知先生真性情中人也！问题越辨越清楚，虽然不一定双赢，从知识角度说，应该双方都能获益。先生个人就是有识者，不必求诸另外的高人！只是先生（或者先生认为是老朽）在原理和用原理指导实践上脱节弄拗了，一时固执，不能豁然开朗贯通而己。无论是先生，还是（可以雕也的）老朽之一人，被另一人拨乱反正了，都是皆大欢喜的，也就“双赢”了。先生以为然否？ 言归正传： 一、235个朔望月实测平均长6939.688415天,而228个中气距实测平均长6939.6018天，也就是说，两者于十九年（岁）间只相差 0.086615天，这是中华历法以十九年为闰周节奏的基础。古人于距今两千多年以前，用肉眼观测所得，总结归纳为章闰之岁长为6939.75天，以为阴阳谐和的节奏，阴历取6939.705/940天,阳历取6939.24/32天。分数705/940 = 24/32 =0.75。阴阳历“分制”不同，值相等，所以从历理说，古四分历一章岁即形成一封闭的系统。 二、《三统历》一朔望月长取29.43/81天,235朔望月长得为6939.61/81天,228中气距长取6939.1159/1539天。因为其分数1159/1539 = 61/81 = 0.7530864197530，阴阳两历值相等,所以刘歆《三统历》一章岁也成一封闭系统。但一章岁取6939.1159/1539天除以19(岁),岁长为365.385/1539天360.8080/1539天，其分数部份1539分之 8080分四分之为2020分，八分之为1010分，其用于12分之和24分之时，都没有整分数，在历法进行“推步”二十四气和十二中气时，很不方便。《汉书律历志》也只说推二十四气为15天又3分之1010分。《三统历》小余分制不便于推步每岁的十二个中气，不能说不是一大缺陷。但由于《三统历》岁长取的是365.385/1539天,化成小数为365.0251624...天，其实与古四分历相差极微，连为《汉书.三统历》作注释的古人孟康也认为《三统历》“八十岁合四百八十七甲子，余分皆尽，故八十岁则一甲子冬至也。”（八十回归年29220整天无小余，相距八十年冬至日干支同名！）依《三统历》八十年应是29220.20/1539天，只有在孟康略去了小余20/1539分之后，才符合。孟康既己取八十年为29220天，则回归年长取的也是 365.25天,就与古四分历精度大致在同一水平。我在补修《太初历》的推十二中气日期的分量时，其中气距的分数取673.3333除以1593 = 14.00432除以32,略去小数四位后的部份,则为14/32分。先生对我的处置，认为其精度相差虽然不大，而以为是“把《三统历》（？）的术语方法用到《太初历》上是一种致命错误！” 三、先生要“纠正”老朽的“错误”，其实很简单，只作先生认定的历数，选定某一章岁，例如统首的章岁，从头以扼要的方法，编出其235个月的月朔，228 个中气的气数（和闰月），道理就摆明白了。而先生则“向更高一层次发，以立法者的角度思考，直指原理。”选定了统首第一章岁，作出的却完全是不合历法原理的“原理推导”。 1、先生说：“历代的历法月份都是29，30。年都是354、355、383、384，根据你这样的排法岂非可只排编成一样？！那那古代的历学家拿起笔就可随意编历法了，何必设精密的器具观测。” 先生这句话的前一半要去掉“历代”二字才能进入讨论。就《太初历》实施的年段而言，既取月策为29.43/81天,那么从公元前105年十一月开始,至公元86年十月份止的190年计2350朔望月的每一个月的天数和每一年的天数,就被历法推步的“月策”所确定。就先生所举为例子的首章岁而言，平年354 天有8年，其第4、8、10、15年则为平年355天，闰年有384天的为6年，其第四年为第闰年，则只有383天。首章岁19年共计6939天无误。往下，方法由月策同上，但第二章岁占有6940天。因此，190年间的历日是由历家一次依法排定，无需更改，也没有更改。先生这句话的下半句说“何必设精密的仪器观测。”就历纪的安排而言，则说对了。先生试想，廿一世纪百年的“万年历”早己问世，能任由人以与天象不合而时时颁布历日的更改么！ 2、先生编出的十九年“历法原理推导”说：“第十九年：接上余数18 1002/1539，共383 1387/1539日，可排十三个月，余下383 1387/1539--29 43/81×13=0日，无余数转入下年！该年13个月，闰年。”总共只余下383.1387/1539天,属闰年,只能安排383个整天了。可是据太初历所实施的年份，每逢章岁之末年，都是闰年不说，还都是384天，从没有为383天的。对此可表先生查相关历书数据。 3、先生说：“因为都经过了6939日，问题是冬至初一日“32分之24分”如何会”亦合1539分之1159分“呢？大家的数学不是都有问题的吧！” 老朽己先说过：“八十一分历一回归年取长为365天又385/1359天，换算成十分制表示法为365.2501624天。与古四分历岁长取365.25 天相比较,一岁长了0.0001624天。”历十九年，《三统历》当比“古四分历”浮0.0030856天。上述的24/32 = 0.75天,而1159/1539 = 0.7530864天,取小数后两位,得1159/1539 = 0.75天。“亦合”就是指在同一精度水平，或只取小数后两位值时“相等”的意思。完全没有先生所说的：“用似是而非的词言扰乱读者”诡辩意图。 4、用“历法原理”推导《三统历》历数，其实只需要月策29.43/81天，加上用闰余数确定闰年位，即可将月大小，和一年的月数天数，很简便地推出来了。又根椐岁初交朔小余的分数多少，得知某平年是354天，还是355天，某闰年是384天，还是383天，也是由历法推步总结出来的“经验”，而不是 “拿起笔就可随意编”出来的。历算家早己总结出，老朽亦于贴子里交待清楚：“ 推本年历日日数：本年平年时，小余51分及以下，年354日；小余大于51分，为355日。本年闰年时，小余8分及以上，年384日；小余少于8分时，年 383日。”这“经验”，若通过一次按月推步，也会及时察觉出来，是不必赘述的。所以这个历日的安排，依古人说的，严格按朔望月定月日就够了，是不必要将回归年取值裹在一起来“啮合”的。就是将多余的朔望月份作为闰月填进“没有中气的月份”时,则于中气的气距为30.4375天中,填入一个朔望月长 29.530天,也有0.9075天的空隙可以周旋，是没有真、填不进去的可能的。先生以“三个轮子”为喻，则其“旷动量”很大，没有“差之毫厘”就有不能转动之虞。附用“积日法”排出同章岁的历数如下，供参酌。 附《太初历》复原第一章历数表

序 积月 闰余 积 日 大余 小余 历日 历数 附注 01 000 00 00000 00 00 354 01.00 太初武帝 02 012 07 00354 54 30 354 55.30 前103年 Ⅰ 024 14 00708 48 60 384 49.60 102 04 037 02 01092 12 52 355 13.52 101 05 049 09 01447 07 01 354 08.01 天汉 Ⅱ 061 16 01801 01 31 384 02.31 099 07 074 04 02185 25 23 354 26.23 098 08 086 11 02539 19 53 355 20.53 097 Ⅲ 098 18 02894 14 02 384 15.02 太始 10 111 06 03277 37 75 355 38.75 095 Ⅳ 123 13 03632 32 24 384 33.24 094 12 136 01 04016 56 16 354 57.16 093 13 148 08 04570 50 46 354 51.46 征和 Ⅴ 160 15 04724 44 76 384 45.76 091 15 173 03 05108 08 68 355 09.68 090 16 185 10 05463 03 17 354 04.17 089 Ⅵ 197 17 05817 57 47 384 58.47 后元 18 210 05 06201 21 39 354 22.39 087 Ⅶ 222 12 06555 15 69 384 16.69 始元昭帝结数： 06939 39 61 40.61(癸卯61/81分合朔)

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云乔居士

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“转帖”
《大戴礼记·曾子天圆》中，曾子云：“圣人慎守日月之数，以察星辰之行，以序四时之顺逆，谓之历；载十二管，以宗八音之上下、清浊，谓之律也。律居阴而治阳，历居阳而治阴。律历迭相治也，其间不容发。”
lz搞反了。
简单地解释下（不敢说没错）：
阴阳理解为地和天。“历居阳而治阴”就是说历法由天象而来，以之指导地上的（农业）生活。
“律居阴而治阳”的“律”指的是律管、音律，指以插在地上的律管定天候节气。
“载十二管”据《吕氏春秋》载：昔黄帝令伶伦作为律。伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴，取竹于嶰溪之谷，以生空窍厚钧者，断两节间，其长三寸九分而吹之，以为黄钟之宫，吹曰“舍少”。次制十二筒，以之阮隃之下，听凤凰之鸣，以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄钟之宫，适合。黄钟之宫，皆可以生之，故曰黄钟之宫，律吕之本。
《太玄经》中扬雄说：“冷竹为管，实灰为候，以揆百度，百度既设，济民不误，玄术莹之。”
蔡邕云：“上古本阴阳，别风声，审清浊。别风声，不可以文载口传也，故铸金作钟，以正十二月之声，然后以效升降之气，而钟不可用，乃截竹为管曰律，为清浊之率也。以律长短为制，正月之律，与太簇相中也，言出于钟。乃置深室，葭莩为灰，以实其端，其月气既至，则灰飞管通。古以钟律齐其声，后人不能，则数以正其度，度正则音亦正矣。仲春中夹钟，季春中姑冼，孟夏中仲吕，仲夏中蕤宾，季夏中林钟，孟秋中夷则，仲秋中南吕，季秋中无射，孟冬中应钟，仲冬中黄钟，季冬中大吕。”

具体的做法是（引自西西河 知行人）：用十二根竹管，其中最长的九寸，最短的四寸六分，因为九是阳的极数。然后按长短次序将竹管排列好，上面的管口一边齐，下边长短不一，像切大葱一样，留斜茬，然后插到土里面。竹管是空的，里面灌满用苇子膜烧成的灰。这种飞灰最轻，叫暇莩。把这些管埋在西北的阴山，拿布幔子遮蔽起来，外面筑室，绝对吹不到一点风，用它来候地气，因为地下的阴阳二气随时都在变化。
到了冬至的时候，一阳生。阳气一生，第一根九寸长、叫黄钟的管子里面的灰，自己就飞出来了,同时发出一种“嗡”的声音。这种声音就叫黄钟，这个时间就是子，节气就是冬至。用这种声音来定调相当于现代音乐的C调；同时可以定时间，来调物候的变化，所以叫做“律吕调阳”。

rose111

“转帖”

【提要】“律历合一”学说产生于远古时代， 她是我国辉煌的古代文明的标志， 也是中

国古人在人类文明史中的独有发现。在绵延数千年前的历史长河中，“ 律历合一”学说从创立、完善、长期实践到自成一体， 其深刻的文化内涵、历史内涵及科技内涵是值得重新认识和发掘的。同时，对“律历合一”学说的更深一步研究对我们今天的古代乐律学、古代天文学、古代计量学、古算学的研究仍然具有十分重要的意义，甚至在某种条件下还是关键的一环。

【关键词】律吕黄钟周易卦气历法

在中国历史上， 有关律历合一思想的最早记述可上溯至先秦以前的典籍记载。而作为自成

体系的律历合一学说， 从宋时起就已残缺不全。宋之后， 随着古代天文历法研究的不断进步，这一古老的理论在实践上几乎被完全抛弃。延至明时，已为时人称为“绝学”。有幸的是， 不论是各代官修“史志”， 还是私家撰写的律吕类专业著作， 尽管留存为数相对不多， 却都为我们留下了非常有价值的史料线索， 藉此我们大致可以对伴随中华文明近一多半历史的律历合一学说有一个相对比较清晰的了解和相对比较更接近历史原貌的认识。


一 候气说

律历合一学说的理论基石律历合一学说的理论基石来源于一个古老的传说：“黄帝使羲和占日,常仪占月， 臾区占星气， 伶伦造律吕， 大挠作甲子， 隶首作算术， 容成综此六术而著《调历》。”[2]据《吕氏春秋》载：昔黄帝令伶伦作为律。伶伦自大夏之西，乃之阮隃之阴， 取竹于嶰溪之谷， 以生空窍厚钧者，断两节间， 其长三寸九分而吹之， 以为黄钟之宫， 吹曰“舍少”。次制十二筒，以之阮隃之下， 听凤凰之鸣， 以别十二律。其雄鸣为六，雌鸣亦六，以比黄钟之宫， 适合。黄钟之宫，皆可以生之，故曰黄钟之宫，律吕之本。[3] 这个被称为“黄钟之宫”的律管， 据汉代的学者所言， 可以候知天地之“元气”。扬雄说：“冷竹为管，实灰为候， 以揆百度， 百度既设， 济民不误， 玄术莹之”[4]， 扬雄的说法紧接着就被随后的史学家蔡邕认可：上古本阴阳， 别风声， 审清浊。别风声， 不可以文载口传也，故铸金作钟， 以正十二月之声， 然后以效升降之气， 而钟不可用， 乃截竹为管曰律， 为清浊之率也。以律长短为制，正月之律， 与太簇相中也， 言出于钟。乃置深室，葭莩为灰， 以实其端， 其月气既至， 则灰飞管通。古以钟律齐其声， 后人不能，则数以正其度， 度正则音亦正矣。仲春中夹钟，季春中姑冼， 孟夏中仲吕， 仲夏中蕤宾，季夏中林钟， 孟秋中夷则， 仲秋中南吕， 季秋中无射，孟冬中应钟，仲冬中黄钟，季冬中大吕。[5] 其具体的做法是， 在一密闭性能良好、温度与湿度变化不大的屋子里，按一定方位， 排列十二个桌子， 桌面做成内卑外高的倾斜状态， 将十二律管管尾填塞上芦苇衣灰， 然后， 依次摆放在相应桌子上， 按照历法观测管内芦苇灰的状态。按照古人的说法，十二律与一年十二个月相对应， 当各月所属中气到来时， 与之相应的律管内的芦苇衣灰就会飞散， 从而就可以将十二律确定下来。对此，后来的史学家大多也表示认同。相应地《吕氏春秋》所谓：天地之气，合而生风， 日至则月钟其风， 以生十二律。仲冬日短至， 则生黄钟。季冬生大吕。孟春生太蔟。仲春生夹钟。季春生姑洗。孟夏生仲吕。仲夏日长至， 则生蕤宾。季夏生林钟。孟秋生夷则。仲秋生南吕。季秋生无射。孟冬生应钟。天地之风气正，则十二律定矣。[6]其音律“元气”论也就理所当然的被后人奉为了经典。“ 黄钟之宫”也因此被古人视为“王者制事立法， 物度轨则”之类的“万事之根本”。[7]从留存至今的一些史料看，在相当长的时期里，古人确实是这样认为并切实付诸实践的，据《后汉书·礼仪志》所载：日冬至、夏至， 阴阳晷景长短之极， 微气之所生也。故使八能之士八人， 或吹黄钟之律间竽；或撞黄钟之钟；或度晷景、权水轻重， 水一升,冬重十三两；或击黄钟之罄；或鼓黄钟之瑟，轸间九尺，二十五弦，宫处于中，左右为商、徵、角、羽； 或击黄钟之鼓。先之三日，太史谒之。至日，夏时四孟，冬则四仲，其气至焉。[8]这是每年冬、夏二至日在皇宫御前殿必须举行的仪式，按程序规定， 如果候气结果稍有异常，这八位专家还要根据各自专业的理解， 写出详细的书面报告， 并由太史令封存转呈皇帝御览。在阴阳五行学说占统治地位的封建社会时期，这种以候天地之“元气”为主旨的所谓“候气法”， 尽管其中不可避免地夹杂了一些古人臆想的成分和牵强的理论解释， 但在主体上还是为当时的天文历法家们所遵从， 例如，杰出的科学家祖冲之在推出其历法新作《大明历》时就曾宣称：“若夫测以定形， 据以实效：悬象著明， 尺表之验可推；动气幽微， 寸管之候不忒。”[9]东魏兴和元年[10]“气朔稍违，荧惑失次，四星出伏，历亦乖舛”，孝静帝命李业兴编修新历[11]，一年后新历草成， 尚书司马子如等上表复命， 奏章中总结评价前《正光历》“ 测影清台，悬炭之期或爽；候气重室， 布灰之应少差”。[12]又， 北周大象元年[13]，太史上士马显等再造新历《大象历》，自称所造新历“庶铁炭轻重， 无失寒燠之宜， 灰箭飞浮， 不爽阴阳之度”。[14]古人也许并没有意识到， 这一貌似完美的理论架构从一开始就为后人设置了一个永远也找不到出口的怪圈：候气的本意是要找到天地之“元气”—— 冬至的“一阳初生”之气， 从而为编定历法找到一个起算基点；而证明历法是否合于天道， 又反过来要以候气是否效验为参照；历法中所谓“天效于景， 地效于响”的各项计算需要标准的计量单位和换算制度，这个原始的计量基准也是来源于用于候气的“黄钟之管”， 而“黄钟之管”的尺寸本身又直接决定着候气的效验与。种三者互为验证的逻辑悖论关系， 在候气之法被发明之初人们大概还无暇顾及，但随着对此一学说的不断的再丰富和再实践， 内在的矛盾日渐暴露， 开始出现候气屡屡不验的记载， 《隋书·律历志》中收录了一篇题为《律谱》的文章， 详细记述了自汉至隋以来有关这一方面的情况。不过从《隋书》中的记载看，每当出现候气不验时， 人们很快会发现， 候气所用的律管尺寸与古制不同， 经过对古尺长度的考证及对实验方法的改进，“ 自斯以后， 律又飞灰”。[15]显然， 在当时对政府来说，候气还是一件很严肃认真的事， 甚至隋文帝杨坚也曾亲自组织人马科研攻关。尽管隋文帝对典籍上有关候气的占候学解释并不满意， 但实验还是十分顺利：“每其月气至， 与律冥符，则灰飞冲素， 散出于外。”[16]于是， 候气作为修订历法的惯例依然被后代继续沿用。


二 关于十二月律

既然“阴阳之施化， 万物之终始， 既类旅于律吕， 又经历于日辰， 而变化之情可见矣。”[17]那么，根据以黄钟之管候冬至一阳初生之气的原理，古人很自然地就推衍出：

黄钟：..阳气施种于黄泉，孳萌万物，为六气元也。..始于子，在十一月。大吕：吕，旅也， 言阴大， 旅助黄钟宣气而牙物也。位于丑， 在十二月。太族：族， 奏也， 言阳气

大， 奏地而达物也。位于寅， 在正月， 夹钟：言阴夹助太族宣四方之气而出种物也。位于卯， 在二月。姑洗：洗， 洁也，言阳气洗物辜浩之也。位于辰， 在三月。中吕：言微阴始起未成， 著于其中旅助姑洗宣气齐物也。位于巳， 在四月。蕤宾：蕤， 继也；宾， 导也， 言阳始导阴气使继养物也。位于午，在五月。林钟：林， 君也， 言阴气受任， 助蕤宾君主种物使长大茂盛也。位于未， 在六月。夷则：则， 法也， 言阳气正法度， 而使阴气夷当伤之物也。位于申， 在七月。南吕：南，任也， 言阴气旅助夷则任成万物也。位于酉， 在八月。亡射：射，厌也，言阳气究物，而使阴气毕剥落之，终而复始，亡厌已也。位于戌，在九月。应钟：言阴气应亡谢，该臧万物而杂阳阂种也。位于亥，在十月。[18]其对应关系为：

十二律吕：黄钟 大吕 太簇 夹钟 姑冼 中吕 蕤宾 林钟 夷则 南吕 无射 应钟



斗柄所指：子   丑    寅   卯   辰    巳 午 未   申   酉   戌   亥

月份：   十一月十二月正月二月 三月 四月 五月 六月 七月 八月 九月 十月

这样， 就把十二律与在天文历法上有特殊意义的“十二”这个数字系统化地对应和联系起来了。此一联系影响深远，甚至一直到晚明的一些学者，都对此说坚信不疑：律、历二术，皆生于黄钟，古有是说。推原是说之由，盖谓"天之大数不过十二"，是故度律均钟，与夫"百事轨仪， 纪之以三， 平之以六， 成于十二"也。所谓"纪之以三"者，若三十度为一辰，三十日为一月， 三百六十为一期， 三十年为一世， 三百年为一限之类是也。所谓"平之以六"者， 若六时为昼六时为夜， 六月为盈六月为缩， 六律配五声合为六十调，六甲配五子合为六十日， 六十年赤道退天一度之类是也。所谓"成于十二"者， 若黄钟之生十二律， 而循环无端， 以象天之十二方位， 日之十二躔次，月之十二盈亏， 星辰之十二宫，斗杓之十二建，岁之十二月， 日之十二时， 如是之类， 皆与律吕之数相符。是故测景候气而与吻合，古之所谓"历法生于黄钟"，此之谓欤！[19]此说在先秦以前的细节到底如何，现在已经很难确知。不过史学家们相信， 在汉代时， 尚有很多历史典籍侥幸留存。汉元封七年[20]， 汉武帝刘彻召集国内一批专家学者， 包括丞相张苍、太史令司马迁、邓平及长乐司马可、酒泉候宜君、侍郎尊、公孙卿、壶遂、大典星射姓等二十余人议造《汉历》，甚至礼贤下士请来了民间方士唐都、落下闳等集体商定，最终选定由唐都主管天文观测、落下闳具体操作：运算转历，然后日辰之度与夏正同。乃改元，更官号，封泰山。..今日顺夏至，黄钟为宫，林钟为徵，太蔟为商， 南吕为羽， 姑洗为角。自是以后， 气复正， 羽声复清， 名复正变， 以至子日当冬至， 则阴阳离合之道行焉。十一月甲子朔旦冬至已詹， 其更以七年为太初元年。[21]一部直接影响后世数千年的新历法《太初历》由此正式问世。作为一名民间学者的落下闳显然深明进退之术，任务完成后“拜侍中不受”仙游去了。此事在《汉书》中的记载要更详细一些：都分天部，而闳运算转历。[22]其法以律起历， 曰：“律容一龠， 积八十一寸， 则一日之分也。与长相终。律长九寸，百七十一分而终复。三复而得甲子。夫律阴阳九六， 爻象所从出也。故黄钟纪元气之谓律。律，法也，莫不取法焉。’与邓平所治同。于是皆观新星度、日月行，更以算推，如闳、平法。法，一月之日二十九日八十一分日之四十三..乃诏迁用邓平所造八十一分律历，罢废尤疏远者十七家， 复使校历律昏明。宦者淳于陵渠复覆《太初历》晦、朔、弦、望，皆最密，日月如合璧，五星如连珠。陵渠奏状，遂用邓平历，以平为太史丞。”[23]当今学者研究认为，其中的“律容一龠， 积八十一寸， 则一日之分”和“一月之日二十九日八十一分日之四十三”确实是“以律起历”的两个最主要的基本数据：日法和朔望月。它的含义在刘歆的《三统历》中得到了更为详尽的阐释。落下闳当然不是以律生历的首创者，我们也不应把《史记》看作是纯粹的个人专著。《太初历》标志着前汉学术界天文历法研究的最前沿成果，而《史记·律书》则是对上起远古下迄汉太初时期的中国古代天文历法的一次历史性总结。其实，在落下闳和司马迁之前， 就有淮南王刘安曾集结了一批学术精英编撰出一部“观天地之象， 通古今之事， 权事而立制”的权威巨帙《淮南鸿烈》，其中在天文律历方面既有与司马迁《律书》雷同者，也有貌似而实异者。[24]刘安自称“ 非寻一迹之路，守一隅之指”，可见落下闳的《太初历》和《史记· 律书》并非是“律历合一”的全部内容了。实际上，在邓平、落下闳编修历法之前，汉宫廷一直沿用秦《颛顼历》[25]，所谓“汉承秦制”主要也是指此。最初的《颛顼历》中有没有关于律吕的内容， 现已无从考察， 但经过丞相张苍修订和乐官考正后， 汉时所行用的《颛顼历》显然和律吕脱不了干系。除此以外，当时还另有五家历法典籍留存于世，包括《黄帝调历》、《夏历》、《殷历》、《周历》、《鲁历》，并《颛顼历》统称“ 古六历”。落下闳的《太初历》便是在《颛顼历》的基础上进一步修订的。而另外的几部历法中，《黄帝调历》又被称为《调律历》， 据汉太史令张寿王言曾在“汉元年以来用之”， 其中涉及的的内容主要有“察法敛”—— 测日行道去极盈缩；“定清浊”——定律声之清浊；“ 起五部”——定天之四时，分为五行..等。而“ 定清浊” 的理论根据是“律居阴而治阳， 历居阳而治阴， 律历迭相治也， 其间不容发。”[26]这个情况在《管子》的记述中也可找到旁证：“昔黄帝以其缓急，作五声， 以政五钟。令其五钟， 一曰青钟，大音，二曰赤钟，重心，三曰黄钟，洒光，四曰景钟，昧其明，五曰黑钟，隐其常。五声既调，然后作立五行，以正天时。”[27]只是后来又有人对张寿王所说的《黄帝调历》是否属实提出了不同看法：“ 又汉太史令张寿王说黄帝《调历》以非《太初》。有司劾：‘官有黄帝《调历》不与寿王同，寿王所治乃《殷历》也。’”[28]今不知是仅《黄帝调历》要定律声之清浊抑或是《调历》、《殷历》都要“定清浊”。其它几部历法中，至少还有《周历》，也与律吕有盘根错节的关系，《国语·周语》载：王将铸无射， 问律于伶州鸠。对曰：“律所以立均出度也。古之神瞽， 考中声而量之以制，度律均钟，百官轨仪，纪之以三，平之以六，成于十二，天之道也。”..王曰：“七律者何？” 对曰：“昔武王伐殷， 岁在鹑火， 月在天驷， 日在析木之津， 辰在斗柄，星在天鼋。星与日辰之位， 皆在北维。颛顼之所建也， 帝喾受之。我姬氏出自天鼋， 及析木者，有建星及牵牛焉， 则我皇妣大姜之侄伯陵之后， 逄公之所凭神也。岁之所在， 则我有周之分野也， 月之所在， 辰马农祥也。我太祖后稷之所经纬也， 王欲合是五位三所而用之。自鹑及驷七列也。南北之揆七同也，凡人神以数合之， 以声昭之。数合声和， 然后可同也。故以七同其数，而以律和其声，于是乎有七律。”[29] 现在我们还不知道此一番说到底是编订《周历》的指导思想还是对《周历》原理的概括总结。但周人确实有“大师掌六律、六同，以合阴阳之声。..典同掌六律、六同之和， 以辨天地四方阴阳之声”的制度。[30]《太初历》后来也失传了。但人们仍然相信易学史上发端于前汉的“卦气说”融十二月律、十二月卦于一身，在很大程度上是汲取了先秦律历理论和《太初历》的研究成果而成的。十二月卦，即以《易经》中的复、临、泰、大壮、夬、乾和姤、遁、否、观、剥、坤十二辟卦分别对应于自黄钟始至应钟止的十二律，代表了一年中的十二个月。所以选此十二卦代表十二个月， 是因为其中爻位的阴阳升降变化体现了自然界阴阳二气的消长过程。前六卦从复卦到乾卦， 表示阳气逐渐增加：复卦对应于黄钟象征一阳初生，临对应于大吕为二阳生， 泰对应于太簇为三阳生， 大壮对应于夹钟为四阳生， 夬对应于姑冼为五阳生， 乾卦六爻皆阳对应于中吕， 表示阳气已盛至极。此为阳息的过程，同时也是阴消的过程。后六卦从姤卦到坤卦， 表示阴气逐渐增长， 阳气逐渐消退。姤卦对应于蕤宾为一阴生， 遁对应于林钟为二阴生， 否对应于夷则为三阴生， 观对应于南吕为四阴生，剥对应于无射为五阴生， 坤卦六爻皆阴， 对应于应钟， 表示阴气已盛至极， 此为阴息的过程， 同时也是阳消的过程。此外， 十二月卦共七十二爻， 又分别代表七十二候的气象变化，复卦初九爻表示阳气始动， 为十一月冬至次候， 到乾卦六爻皆阳， 表示阳气盛极， 为四月小满次候；姤卦初六爻表示阴气始动， 为五月夏至次候， 到坤卦六爻皆阴， 表示阴气盛极，为十月小雪次候。这样， 十二月卦既反映了二十四节气又反映了七十二候的变化， 此十二卦又被称为十二消息卦。前六卦为阳息阴消， 后六卦为阴息阳消。[31]这样，反映十二律与十二月的对应关系的候气说自然也就成了卦气说的一个组成部分。卦气说借助于当时的天文、律历讲《周易》，反过来，又对天文历算起了一定的影响。自此之后，卦气说又成了古代历法的理论支柱之一。许多历书都引用卦气说来解说历法， 如东汉末年的《乾象历》，北魏的《正光历》，唐代的《麟德历》、《开元大衍历》等。很清楚，至少截止汉时，中国历史上已经有了比较成熟和完备的律历合一理论及实践。


三 三百六十当期之日

中国古代帝王之所以出奇地重视天文历法， 个中的一个主要原因， 是想通过天文历法来了解自己是否还在继续享受着“天命”的眷顾。一旦发现有不祥之兆，或诛杀大臣， 或大赦天下， 或祭天祀地， 或贬膳去乐、释放宫女， 或向全国人民检讨等， 花样百出。对传统天文历法能够窥测“天意”的这项功能， 不论是远古的帝王还是周代的伶州鸠、汉代的太史公抑或是满清时期的天文生大多都深信不疑并心存敬畏。这使得中国传统历法在发展过程中，很早就派生出一个天文历法的孪生胎—— 天文占候。“ 律历合一”学说在近代被科学主义弃之如敝履的原因也正在于此。律吕在卦气学说中的加盟， 使律历合一学说以超乎寻常的速度迅速发展，从汉初就开始逐渐构成一个庞大的象数体系， 其中经常被人们提到并作为批判的典型材料的就是六十律的发明者汉京房及其《易传》。其实，京房六十律及其易学体系不过是汉代卦气说的又一分支。在京房看来，先秦以来的十二月律犹显粗略， 于是便用从他老师小黄令焦延寿处学到的六十律相生之法“于以检摄髃音， 考其高下”，“ 以六十律分期之日， 黄钟自冬至始， 及冬至而复，阴阳寒燠风雨之占生焉。”京房自称：夫十二律之变至于六十， 犹八卦之变至于六十四也。宓羲作易， 纪阳气之初， 以为律法。建日冬至之声，以黄钟为宫，太蔟为商，姑洗为角，林钟为徵，南吕为羽，应钟为变宫，蕤宾为变徵。此声气之元，五音之正也。故各统一日。其余以次运行，当日者各自为宫，而商徵以类从焉。[32]而他对自己这样做的目的也直言不讳：“分六十四卦， 配三百八十四爻， 成万一千五百二十策，定气候二十四， 考五行于运命， 人事天道日月星辰局于指掌。”如此， 卦气理论便急剧膨胀为一个异常复杂的庞大体系。这样一个能“定气候二十四， 考五行于运命， 人事天道日月星辰局于指掌。”[33]的“天文解码图”，恐怕也不是常人能轻易搞得懂的， 为此汉元帝特意组织了一个专家小组进行考察。也不知专家小组最终有没有搞得明白， 史官只是说“元帝时京房明六十律， 事为密矣”。[34]但从“其术施行于史官，候部用之。”[35]的记载看， 朝廷还是很重视的。本来古人做学问略有所得则自成一家， 京房有如此密术， 世间当然“文多不悉载”，“ 音不可书以晓人， 知之者欲教而无从，心达者体知而无师， 故史官能辨清浊者遂绝”。[36]不过，若从汉元帝初元四年[37]算起到《晋书》所记“惟京房始创六十律。至章帝时， 其法己绝， 蔡邕追纪其言，亦曰今无能为者”[38]，宫廷依例沿用也有一百三十多年了。[39]京房死后给人们留下了无尽的疑团。刘宋时何承天就对京房的理论提出了质疑：“凡三分益一为上生，三分损一为下生， 此其大略， 犹周天斗分四分之一耳。京房不思此意， 比十二律微有所增，方引而伸之，中吕上生执始，执始下生去灭，至于南事，为六十律，竟复不合，弥益其疏。”[40]稍后的梁武帝也对此颇感兴趣，并在他的《钟律纬》一书中记述了他亲自实验的情况：

比敕详求， 莫能辨正。聊以余日， 试推其旨， 参校旧器， 及古夹钟玉律， 更制新尺， 以证分毫， 制为四器， 名之为通。四器弦间九尺，临岳高一寸二分。黄钟之弦二百七十丝， 长九尺， 以次三分损益其一， 以生十二律之弦丝数及弦长。各以律本所建之月， 五行生王， 终始之音， 相次之理， 为其名义，名为通。通施三弦， 传推月气， 悉无差舛。即以夹钟玉律命之，则还相中。[41]史载萧衍颇通律吕之学， 而他的观点也显得儒雅得多：“案京房六十，准依法推， 乃自无差。但律吕所得， 或五或六， 此一不例也。而分焉上生， 乃复迟内上生盛变， 盛变仍复上生分居，此二不例也。房妙尽阴阳，其当有以，若非深理难求，便是传者不习。”[42]京房的占验之术之真伪是一个热门话题。据《汉书》记载“其说长于灾变，分六十四卦，更直日用事， 以风雨寒温为候：各有占验。房用之尤精。”[43]尤其是《汉书·京房传》那精彩流畅的文笔， 更像是一部传奇小说， 似乎京房一生的每一个细节都是在证实他的卦气说中那完美无缺的前知功能。于是就有人发问：既然如此，京房何至于落得岳父大人被腰斩示众， 自己暴尸街头？ 这里语者又有所不知， 其实京房的老师焦延寿早就对人说过“得我道以亡身者， 必京生也。” 京房的弟子姚平也曾劝他说：“房可谓知道，未可谓信道也。房言灾异， 未尝不中，今涌水已出，道人[44]当遂死， 尚复何言？” 而京房对此似乎也早有心理准备：“陛下至仁，于臣尤厚，虽言而死，臣犹言也。”[45]对史书上这种神话般的文学性描述，我们倒也不妨姑妄听之， 但其中透露出来的一些信息却是很值得今人认真研究的：一， 京房确曾以其易学的实用价值深得汉元帝的器重；[46]二， 京房根据他的研究为元帝提交的有预测性内容的建议确实对元帝有过重要影响；[47]三，京房确实死于权臣石显的诬陷， 而他本人对此是有预见的；四，京房确实作过一些天文和自然灾害方面的成功预测， 其中有当时即被证实的， 也有死后不久即实际发生的。[48] 需要说明的是， 对于年代久远的一些古籍中的记述， 尽管自宋以后就不断有人提出质疑甚至斥为伪作， 但其中涉及到天文历法的， 绝大部分没有被后来的天文学家所认可，原因是在天文历法上作伪证要远比作其它的伪证难到几乎不可能， 而最终败露则是必然的， 这一点想必古代的史学家也应该是很清楚的。

当然， 这并不意味着我们可以对京氏律学的实用价值抱有过于幼稚的期望， 就京氏律学的研究来说， 开发其实用价值只是问题的一个方面， 而更重要的是如何认识中国传统文化在探索宇宙根本规律方面所达到的哲学高度。京房之后，仍有人对京房六十律念念不忘。据《隋书· 律历志》载：“宋钱乐之因京房南事之余，更生三百律。”梁时，博士沈重：

依《淮南》本数， 用京房之术求之， 得三百六十律。各因月之本律，以为一部。以一部律数为母， 以一中气所有日为子， 以母命子， 随所多少， 各一律所建日辰分数也。以之分配七音， 则建日冬至之声， 黄钟为宫，太簇为商， 林钟为徵， 南吕为羽， 姑洗为角， 应钟为变宫， 蕤宾为变徵。五音七声， 于斯和备。其次日建律， 皆依次类运行。当日者各自为宫， 而商徵亦以次从。以考声征气，辨识时序，万类所宜，各顺其节。[49]

并撰《钟律议》一书以明《易》“以三百六十策当期之日”及《淮南子》“ 以十二律应二十四时之变..律以当辰，音以当日，..其以为音也， 一律而生五音， 十二律而为六十音， 因而六之， 六六三十六， 故三百六十音以当一岁之日”[50]之义。至于其中的详情，则史载语焉不详，我们也就无从得知了。

近年来， 学术界有关京房的话题不断升温， 有迹象显示， 自然科学界也有越来越多的朋友表示兴趣，相信随着研究的不断深入，人们将会有更多的发现。


四 律历合一余绪

进入唐代， 一行和尚《开元大衍历》的问世， 标志着中国传统历法史进入了一个革故鼎新的时代。史书上对《大衍历》的评价非常之高：“ 开元九年，《麟德历》署日蚀比不效，诏僧一行作新历， 推大衍数立术以应之，较经史所书气朔、日名、宿度可考者皆合。”[51]一行自己也说：“古历分率简易， 岁久辄差。达历数者随时迁革， 以合其变。故三代之兴，皆揆测天行，考正星次，为一代之制。正朔既革，而服色从之。及继体守文，畴人代嗣，则谨循先王旧制焉。”[52]言下之意不言而喻。而史官则直截了当一语道破：“ 自《太初》至《麟德》，历有二十三家,与天虽近而未密也。至一行，密矣！”[53]一行如此自信，其中一个很重要的原因是，他亲自主持完成了一项前无古人的大规模天文大地测量，测量范围北起北纬40°左右， 南达北纬17°左右。全国设十二处观测点， 各地测量的数据都按时报到长安， 由一行汇总计算。这在天文历法研究以及编订新历法上的重要性自然是不言而喻的。经过两年时间的艰苦工作，僧一行终于推出了一部前无古人的历法新作《开元大衍历》。《大衍历》对古代传统历法进行了一系列重大改革，后人总结说：“ 自落下闳造《太初历》，取法黄钟律数，而后知创历不可无所本。自僧一行造《大衍历》，改从大易策数，而后知修历不可有所拘。”[54]也就是说，从一行开始中国官方历法的编修从基本的指导思想上已经完全步入了另一个轨道。开元十七年，唐宫廷颁布《大衍历》谱，历中未再有涉律吕者。《新唐书·律历志》释曰：“盖历起于数，数者自然之用也，其用无穷而无所不通， 以之于律于易皆可以合也， 然其要在于候天地之气，以知四时寒暑而仰察天日月星之行运，以相参合而已。”[55]对僧一行这种以易起历的做法今人颇有微词，大以为“牵强附会”。但我们扪心细想一想， 却又不免茫然：假使当初一行将所涉易理者一一隐去， 当不知今人又将如何进行解读。但不管怎幺说， 一行决然将传统历法中所涉律吕革去不用， 则是时之然也：当初落下闳取法黄钟律数， 虽然明知候气有“进退于先后五日之中”[56]之说， 却依然断言“后八百年， 此历差一日， 当有圣人定之”， 事实证明已言过其实。《太初历》每125年就差一日， 到东汉元和二年[57]，政府就进行了改历。至于更后的律历发展如“卦气说”、京房六十律等，一行认为：十二月卦出于《孟氏章句》，其说《易》本于气,而后以人事明之。京氏又以卦爻配期之日，坎、离、震、兑，其用事自分、至之首，皆得八十分日之七十三。颐、晋、井、大畜， 皆五日十四分， 余皆六日七分，止于占灾眚与吉凶善败之事。至于观阴阳之变， 则错乱而不明。..其说不经，欲附会《纬》文“七日来复”而已。[58]因此予以废除。虽则如此，这里仍有几处似可商榷：说“十二月卦出于《孟氏章句》其说《易》本于气”可也，说“而后以人事明之”则未必妥也。盖《易·系辞》有曰：夫易何为者也？ 夫易开物成务， 冒天下之道，如斯而已者也。是故，圣人以通天下之志，以定天下之业， 以断天下之疑。是故， 蓍之德， 圆而神；卦之德， 方以知；六爻之义易以贡。圣人以此洗心， 退藏于密， 吉凶与民同患。神以知来， 知以藏往， 其孰能与于此哉！古之聪明睿知神武而不杀者夫？ 是以， 明于天之道， 而察于民之故， 是与神物以前民用。圣人以此斋戒，以神明其德夫！[59] 又， 谓京氏“止于占灾眚与吉凶善败之事”可也，谓“其说不经”则又未必可也。“至于观阴阳之变， 则错乱而不明”， 又何止唐时？ 早在梁时人已知“房妙尽阴阳， 其当有以， 若非深理难求，便是传者不习”了。至此，素来被奉为圭臬的古训“一律而生五音， 十二律而为六十音， 因而六之， 六六三十六，故三百六十音以当一岁之日”基本上被排斥于后代治历原则之外。自宋以后， 律历合一学说虽渐已成远古文明之余辉。但仍不时地在一些文人的笔下闪现着折射出的亮点，如朱熹、邵雍、沈括、蔡元定等， 都对律历合一深信不易。宋科学家沈括更是在其《梦溪笔谈》中津津乐道“候气之法”， 并提出了与《后汉志》所载另有不同候气之法：先治一室，令地极平， 乃埋律琯[60]， 皆使上齐， 入地则有浅深。冬至阳气距地面九寸而止。唯黄钟一琯达之， 故黄钟为之应。正月阳气距地面八寸而止， 自太蔟以上皆达， 黄钟大吕先已虚，故唯太蔟一律飞灰。如人用针彻其经渠， 则气随针而出矣。地有疏密， 则不能无差忒， 故先以木案隔之， 然后实土案上， 令坚密均一。其上以水平其概， 然后埋律。其下虽有疏密，为木案所节，其气自平，但在调其案上之土耳。[61]还有差不多是同时的邵雍[62]，在其《皇极经世书》中以律吕、历法、周易六十四卦构织了一幅玲珑剔透完美至极的宇宙框架图， 有号称“邵子内圣外王之学， 其于天地万物之理究极蕴奥，古今治乱兴废之由洞如指掌”[63]者，吸引了无数儒生学子穷经皓首， 孜孜以求， 影响一直持续到明清。然毕竟只是一家之言， “究天人之际， 通古今之变”虽精神可嘉， 欲以一家之学通万物之变却未免异想天开。随着近代科学的日益兴盛，特别是明末随西洋传教士利玛窦、汤若望等传入的西方近代天文历法理论被汉文化最终接受， 律历合一学说终于成为古籍善本中的陈年旧说。