一般表达式
翁老提出的可公度信息系的一般公式为
式中,{j}∈{i},即j是下标集{i}={1,2,……,n}中的元素;Ij为整数;L为可公度元数目。
在1996年出版的专著[4]中提出的经修改的可公度性的一般表达式为
式中,ij∈{i},且ij≠i,即ij是下标集{i}={1,2,…,n}中与i不同的任意元素;Xij是{X}中与Xi不同的任意元素;Ij是整数;L是可公度元数目。ε0是事先确定的可行性临界值。
为了估计Xi的非偶然性的程度,要引入ε和(1-α)两个参数。ε表示可公度式两侧差别的最小允许范围;(1-α)为置信水平。只有规定适当的ε和(1-α)的条件后,实际数据中的几乎可公度性才有非偶然的信号意义。
在一个数据体系中,如果除了一个平均值(或概率)外就没有任何信息,它就是均匀分布,此体系中的数值就是随机数。以拒绝均匀分布的假设来证实非偶然性,并且估计置信水平(1-α)。对容量为n在[a→b]数域内的数据系{X},如果有m个可公度式,则具有下列形式,即
Xa+Xb-Xc-Xd=Xj
Xj- <ε,j=1,2,…,m
式中{Xa,Xb,Xc,Xd,…}则 可以是Xj的期望值,称为{X}的4元ε概周期。
在《预测学》中还首次发表了“初级数据分布”(成稿于1979)的大部分内容,披露了在均匀分布假设下,可公度元的数目不同的理论频数的计算公式。将实际可公度式的统计频数X,与相对照的均匀分布假设下计算的理论频率比较,可估计非偶然性的置信的水平(1-α)。
可公度性原则
翁老在1994年9月一次讲话中提出“可公度性原则”这一原理。他说:如果一切实体的基本单位是可数的,那么,它们都具有可公度的特性。
他提出了“实体
(entity) ”这一重要概念。一切实际存在的物体和一切发生的事件都由它们的基本单位组成,可用自然数来数个数的。一些事件只能一次一次地发生,不能发生半次。如果用函数来表示实体,它将是离散的、不连续的。所以也是不可微的。这是“可公度性原则”的延伸。
可公度性方法应用范围
可公度性方法最早被应用于天文学。翁老通过几十年研究,把它应用到从微观、宏观、宇观的许多现象的研究中去,取得了良好的效果。
表1从翁老的著作中摘取了一部分应用实例。由表1可见,可公度性广泛存在于各种自然现象中,具有普遍性。应用可公度性可大大有助于研究事物之间的复杂联系。
表1 可公度法应用范围示例
类别领域名称数据个数(n)可公度元数
微观化学10个轻元素原子量102,5放射性化学U239β衰度γ射线72,3,4中微子质量124核物理原子幻数74宏观地震1976年唐山地震64水文1991年洪灾预测63气象1982年华北干旱55太湖结冰163中国东部涝年143数学素数3宇观天文木星卫星32太阳物理太阳黑子数(≥110)123太阳黑子数(>130)75 可公度性方法的一些基本特点
从数学上看,可公度性方法的计算公式简单明了,但为什么具有其它数学方法不能达到的效果呢?这是因为它具有一些后者所没有的基本特点。
(1)可公度性是周期性的扩张。
翁老在1981年提出可公度性是周期的扩张。后来又写过一篇未发表短文:“从周期性到可公度性”(1992,打印稿),摘录如下:
对一个时间变量y(t),如果有一个p,使
y(t+p)-y(t)=0
那么p就是一个周期。如果有一个时间区间e,使
|y(t+p)-y(t)|<e
那么p就是一个概周期。如果使概周期有物理意义,e必需小于有一定置信水平置信限,来否定其偶然性。
如果时间变量y(t)退化为它的一个离散型特款:时间序列y(i),同时把一元关系扩张为多元首一多项式,并有
|Σa(i)*y(i)|<e
式中,a(i)是整数,那么离散时间序列y(i)有概可公度性,e同前。如e=0,则y(i)有可公度性。
以上论述对周期性和可公度性的关系作了较为明确的说明。周期性是一基本上连续的时间序列,前后对应点应时时保持两者之差为p。周期性经退化和扩张后表示集合中各点的关系与周期性已有很大的变化。这由两个公式差别很大亦可证明。
因此,“可公度性是周期性的扩张”应理解为与周期性基本性质有很大差别的另一种特性,不保持周期性的主要性质。周期性仅是可公度性的一种极端情况。
此外,无论微分或高阶差分都无法表达一个体系中的可公度性信息。
(2)信息失真少。
翁老重视在数学运算中的信息失真问题。他认为:“在数学中越复杂的运算,假设的成分越多,使用起来失真的东西也越多,结果与实际情况也就相差甚远。”他提出:加、减法使信息失真少,而除法则会使信息失真。例如:一个房间有2把椅子,另一个房间有3把椅子。用加法则两个房间有5把椅子,仍是客观存在。但是用除法,每个房间平均有2.5把椅子。在客观实际中不存在2.5把椅子,它只存在于人的脑子中。这一抽象有它的作用,但也造成信息失真。翁老反对把本来用加减运算可求解的问题,偏要用微积分来运算。
可公度性方法是一种立足于减少信息失真的方法。前述可公度量的一个条件是其系数为整数。可公度性方法的运算操作多为加法、减法。这有利于信息保真。
当天文因素有周期性时,地球表面对它的响应可以有周期性,亦可以是非周期性的。因此,可以认为:在多数情况下,某一时刻、某一地区对天文因素的周期性变化仅仅有局部(某些特征时刻)的响应(信息),这可能是可公度性形成的基本原因之一。
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