《周髀算经》的自洽性分析（转贴）

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载《上海交通大学学报》哲学社会科学版

2005年第2期


上海交通大学科学史系　曹　一

摘 要 按照《周髀算经》原文不能构造出与之叙述相符的宇宙模型，观测璇玑径长方法中的矛盾以及牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法与璇玑四游在天文学依据上的冲突，让人不能不对其自洽性产生怀疑，或者据此可以认为《周髀算经》非一时一人所作。《周髀算经》仍然体现出中国古代天文学研究“代数”强而“几何”弱的特点。
关键词 《周髀算经》 宇宙模型 自洽性



　　《周髀算经》是我国最古的天文算法的著作之一，唐初把它列为《算经十书》的第一种，由此可见其在中国天算史上的地位。《周髀算经》的基本内容在于利用圭表原理，观测晷影极游，以勾股术推测日月行度，借以确定一年的日期、季节的早晚，乃至太阳的远近大小，宇宙的构造等等。它实际包含算学、历法、天文测量和宇宙论等多方面内容，是研究古代天算知识的宝贵史料。
　　赵爽《周髀》序云：“浑天有灵宪之文，盖天有周髀之法，累代存之，官司是掌。”作为我国古代盖天说的代表著作，《周髀算经》一直为历代学者所关注，研究者通过对其经文的分析考察，对我国古代算学、历法、天体测量都有了深入的了解，从经文中所描述的天地构造，进一步认识了盖天说的宇宙结构模式。在这一过程中，我国古代天文算学的许多成就才逐步被人们所认识，其中不少是令人惊叹的。江晓原认为《周髀算经》使用了公理化方法，引入了一些公理（如天地为平行平面，“日照四旁” 十六万七千里等），并在此基础上从其几何模型出发进行了有效的演绎推理，对各种天象做了描述。 [1]曲安京认为《周髀算经》盖天说宇宙模型的各种数据是可以在其宇宙框架下，仅仅根据一个假想的宇宙直径，而推算出来的。 [2]……即是说，《周髀算经》本身的各种数据与其宇宙模型之间是自洽的。本文在前人研究的基础上，从《周髀》原文出发，通过对《周髀》所提出的宇宙模型、天体运动的讨论，对《周髀算经》的自洽性提出怀疑。


一、按照《周髀算经》原文不能构造出与之叙述相符的宇宙模型

　　《周髀算经》有关宇宙结构的叙述主要有：
　　极下者，其地高人所居六万里，滂沲四（阝贵）而下，天之中央亦高四旁六万里。
　　天象盖笠，地法覆盘。
　　天离地八万里，冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里。
　　根据这些描述，大部分学者都认为《周髀算经》所反映的宇宙结构为双重球冠模型。李约瑟就曾引用恰特莱（Chatley）据《周髀算经》提供的数据和计算所做的图解来说明盖天说的世界图式，并且引用《晋书》中的一段话对其进行解说。“盖天说认为天像一把伞，包围着像一个倒覆的盆的地，天和地的中心都隆起，而外部低下。在北天极的下面是天、地的中心。那里的地最高，四面都向下倾斜。三光时隐时现，形成昼夜。天的中心比太阳在冬至日所在的外衡（赤纬圈）高六万里，北天极下的地比在外衡下的外区高六万里。天的外衡比天极下的地高二万里。天与地在轮廓上互相配合（像二个同心圆顶）。太阳离地的永恒垂直距离为八万里。” [3]李约瑟还根据《晋书》的记载认为“周髀学派还断言天是圆的，像张开的伞，而地则是方的，像一个棋盘。” [4]
　　钱宝琮对《周髀算经》中的宇宙结构同样地持双重球冠模型的观点。他认为这一宇宙模型“言天地均中高四（阝贵） ，颇与浑天家说相近。天地皆为圆形，地体静止于下，日月星辰运行于天，二家学说未始不同。惟盖天说举人目观察所及，仅言其半，浑天说则推想地为球形，及于全体耳。” [5]认为这部盖天说的代表著作中有着与浑天说相近的宇宙模型。这种观点是非常有启发性的，同样是认识宇宙结构的学说，浑、盖两家或许并不像人们想象中那样泾渭分明。对《晋书》中“天圆如张盖，地方如棋局”的说法，钱宝琮给予了澄清。“天象盖笠，地法覆盘”与“天圆如张盖，地方如棋局”实际上两派盖天说的观点，《晋书》中将二者混为一谈，并且将后者作为《周髀》家说，实为名实颠倒，莫可致诘。 [6]钱宝琮明确区分了两派盖天说的观点，更客观更明了地说明了《周髀算经》中的宇宙模型。
　　尽管历代大多数学者都持双重球冠模型的观点，这一模型在与《周髀》原文的吻合上仍存在着不足之处。首先，该模型无法满足“极下者，其地高人所居六万里” 这一条件。因为在球冠形的模式中，大地上比极下低六万里的面积实际上为零——只有球冠边缘这一线圆周是如此，而“人所居” 的任何有效面积都不可能低于极下六万里。 [7]
　　其次，如果说考虑到古代技术发展水平的限制，可以粗略地认为双重球冠模型符合原文的叙述，那么双重球冠模型的球形表面与“日影千里差一寸”所要求的前提条件之间的矛盾则是不可忽略的。
　　“日影千里差一寸”，是在古代天文测量中使用的重要比例关系。《周髀算经》中测日高、日径、周地到极下的距离等都曾用到这一比例。不仅在盖天说的著作里，在浑天说和其他天文学派的文献中都有这一比例关系的记载。如《淮南子?天文训》“寸得千里”、“南千里阴短寸”，《尚书·考灵曜》“日正南千里而减一寸”，张衡《灵宪》“悬天之景，薄地之仪，皆移千里而差一寸得之”。虽然后来李淳风在注释《周髀算经》时驳正了这个错误，僧一行也通过实际测量证明这是一条错误的比例关系，但在此之前，“日影千里差一寸”在科学界是被广泛承认的。因此，在建构《周髀算经》的宇宙模型时必须考虑“日影千里差一寸”的适用条件。
　　“日影千里差一寸”，是利用八尺之表测量时构造出的两个相似三角形的一组比例关系。它的前提条件是天地为平行平面。只有天地是平面，才能构造出相似三角形；天地平行，才能保证数值上一寸与一千里的对应关系。显然，在双重球冠模型中，是不具备使用这一比例关系的条件的。
　　为了解决这个问题，有学者构造出了另外一种模型：天与地为平行平面，在北极下的大地上矗立着高60000里、底面直径为23000里的上尖下粗的“璇玑”。也就是说，天在北极也并非平面，而是柱形向上耸起的，其形状也与地上的“璇玑”一样。 [8]
　　这种宇宙模式可以较好地与原文吻合，但不能完全满足“日影千里差一寸”的适用条件。在测量周地到极下的距离时，原文有：
　　周髀长八尺，勾之损益寸千里。……今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下。
　　在这种中部柱形高耸的宇宙模型中，我们注意到，天在北极并非平面，北极星处于天中的位置距人之所在地面的高度也不是80000里而是80000+60000=140000里。由于不是在一个平行平面内，“日影千里差一寸”这一比例关系也不再适用。在这里的比例关系不是8尺/80000里=1寸/1000里而是8尺/140000里=1寸/1750里。
　　陈遵妫认为，原文“今立表高八尺，以望极，其勾一丈三寸，由此观之，则从周北十万三千里而至极下”中的“极”字，指的是极轴，其勾的长度是固定不变的，而且是出于实测。 [9]
　　如果这里的“极”字指的是极轴而不是北极星，似乎就可以认为测望是发生在距离地80000里的平面内，那么“日影千里差一寸”就可以在这种中部柱形高耸的宇宙模型完全适用。
　　但这种解释是不充分的。既然是出于实测，那么北极星、表顶、人眼三点必定成一线。按照中部柱形高耸的宇宙模型的描述，北极星始终处在距离地140000里的高度上，测量就不是发生在同一平面内，“日影千里差一寸”在这里就不适用。此其一。
　　其二，《周髀》原文有“天离地八万里，冬至之日，虽在外衡，常出极下地上二万里。”“虽”的意义在辞海 [10]中有（1）表示假设或让步；（2）通“唯”。
　　如果当“唯”讲，有强调的意味。但从前后文来看，不论是“外衡”，还是“极下地上二万里”都看不出需要特别强调的必要。并且在中部柱形高耸的宇宙模型中，太阳运行的全部平面都满足高于极下地上二万里的要求。所以这里“虽”当“唯”讲就显得毫无意义。
　　如果表示假设，按照语言习惯，中衡、内衡与外衡是处于同样的地位，那么下文中应该有关于中衡和内衡的论述，来说明太阳在中衡和内衡上运行的高度情况。但文中到此为止，没有接下来论述。所以表示假设也不通。
　　如果表示让步，从前后文来看，论述的应该是太阳运行的高度情况，在中部柱形高耸的宇宙模型中，外衡、中衡与内衡处于同一高度，也就没有让步的必要。
　　综上所述，在中部柱形高耸的宇宙模型下，“虽”字的文义很难有合适的解释。但是如果放在双重球冠模型下，由于外衡是太阳运行高度最低的轨道，那么“虽”表示让步，作“即使”讲，理解为冬至时候的太阳，即使位于外衡，也要比极下地上高出二万里，就很顺理成章了。
　　所以说，双重球冠模型是不成立的，这可以认为已成定论，而中部柱形高耸的宇宙模型虽然与《周髀算经》原意最为接近，，但仍然不能与《周髀》原文完全吻合。这种不吻合，是《周髀算经》本身内容不自洽的表现，按照《周髀算经》原文不能构造出与之叙述完全相符的宇宙模型。


二，观测璇玑径长方法中的矛盾。

　　测璇玑四游仍然是以八尺之表，通过人目、表顶、天体三点连成一线，由“寸影千里”来得到极星四游的范围。 [11]
　　这里有“北极”、“北极璇玑”、“北极枢”三个相关的概念。在《周髀》原文中，“北极”是“四游”而画出圆圈的天体，也就是北极星；“北极璇玑”是天中央北极星作拱极运动的空间范围；“北极枢”是北极星作拱极运动所画圆圈的圆心，也就是真正天文学意义上的北极。
　　测璇玑径长的基础是北枢璇玑四游，《周髀》中有关文字有：
　　欲知北极枢、璇玑四极， [12]常以夏至夜半时北极南游所及，冬至夜半时北游所及，冬至日加酉之时西游所及，日加卯之时东游所及，此北枢璇玑四游。
　　从“冬至夜半时北游所及，冬至日加酉之时西游所及，及日加卯之时东游所及”来看，北极星所做的是周日拱极运动。由于地球的自转，所有恒星一昼夜间都呈现出绕北极一周的拱极视运动，这在天文学上有着实际的观测依据。
　　按照这一模式，要求北极星四游之极，只要在某日（不一定是冬至日）的夜半、卯时、日中、酉时四个时刻“以绳系表颠而希望之”，在地上做出标记，然后计算即可。但因为白天不可能看见恒星，“日中”时刻的测量就不能实施。对此《周髀》通过测量“夏至夜半时北极南游所及”来解决这个问题。《周髀算经》所述的相隔半年测量极星南北游的做法确有观测实践可据，但这种方案与前述北极周日拱极运动是矛盾的。因为按《周髀算经》的宇宙结构模型，在北极周日拱极运动的模式中，任何一天的夜半，北极星都在同一处。不可能出现冬至夜半北游而夏至夜半南游的情况。 [13]所以，《周髀算经》所述璇玑径长测量方法与其宇宙结构模型是不自洽的。


三，牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法与璇玑四游的矛盾。

　　关于牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法，绝大部分研究者都认为是没有天文学依据的。
　　钱宝琮就提出这三个“去极度数”的计算方法大可怀疑。“为什么把牵牛宿放在外衡周上，把娄角宿放在中衡周上，把东井宿放在内衡周上，使这四个宿的去极度数和各相当衡周的去极度数相等？为什么这三个极距每一度的弧长都要取内衡周上的一度为标准？为什么计算牵牛、娄与角、东井去极度数时要牵涉到那个假想的星——北极璇玑的极距？” [14]
　　江晓原认为《周髀算经》对牵牛、娄与角、东井去极度的计算是“荒谬、错误的推算方法”，但却得出了“有意义的、非常准确的数值”（如黄赤交角），结论只能是这些数值当时已有，而推算方法是作者胡乱编凑的。 [15]
　　尽管是没有天文学依据的，或者说是荒谬的计算方法，我们仍能从中看到作者对宇宙结构的一些认识。从而为正确理解《周髀算经》中的盖天说提供参考思路。
　　《周髀算经》原文中有关牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法的文句有：
　　牵牛去北极百一十五度千六百九十五里二十一步千四百六十一分步之八百一十九。术曰：置外衡去北极枢二十三万八千里，除璇玑万一千五百里，其不除者二十二万六千五百里以为实，以内衡一度数千九百五十四里二百四十七步千四百六十一分步之九百三十三以为法，实如法得一度；不满法，求里、步：约之合三百得一以为实，以千四百六十一分为法，得一里，不满法者三之，如法得百步，不满法者上十之，如法得十步，不满法者又上十之，如法得一步，不满法者以法命之。次放此。
　　娄与角去极九十一度六百一十里二百六十四步千四百六十一分步之千二百九十六。术曰：置中衡去北极枢十七万八千五百里以为实，以内衡一度数为法，……
　　东井去北极六十六度千四百八十一里一百五十五步千四百六十一分步之千二百四十五。术曰：置内衡去北极枢十一万九千里，加璇玑万一千五百里，得十三万五百里以为实，以内衡一度数为法，……
　　关于这段文字的理解，有三点需要注意：
　　其一，所谓的牵牛去北极，不是指牵牛星的去极度，而是冬至那天太阳距北极的度数；
　　其二，北极也不是我们今天所理解的北极，而是作璇玑四游的北极星；
　　其三，去极的度数，是指地上而言。
　　简单地说，这个去极度的公式是：
　　X的去极度＝X距北极星的距离／（内衡周长／365.25度）
　　设r0 、r1、r2、r3分别表示《周髀算经》宇宙结构中的北极璇玑、内衡、中衡与外衡半径，内衡周长c=6r1 （取π=3）周天s = 365.25度，则根据原文叙述
　　太阳在牵牛的去极度是　　[(r3－r0)／c]·s　
　　太阳在娄与角的去极度是　[ r2／c]·s
　　太阳在东井的去极度是　　[(r1＋r0)／c]·s
　　为什么在计算太阳在娄与角距北极星的距离时用中衡半径，而计算在牵牛距北极星的距离时用外衡半径减去北极璇玑半径，计算在东井距北极星的距离时用内衡半径加上北极璇玑半径？按照前述北极星周日拱极运动的模式，这种计算方法毫无道理可言。然而如果我们假设北极星所做的是周年拱极运动，粗略地看，这种计算就可以讲得通了。
　　这只是一种假设而已，并不足以否定前文所说北极星的周日拱极运动，因为北极星的周日拱极运动是由于地球自转产生的，是有天文学依据的。而后面的一种假设，找不到任何文献记载或实际观测的依据，只是试图解释这里去极度的计算原理的一种猜测。
　　至于为什么这三个极距每一度的弧长都要取内衡周上的一度为标准，至今还没有很好的解释。但是作为盖天说的一部经典著作，很难想象《周髀算经》中的计算方法完全是毫无依据地拼凑数据。钱宝琮根据清人顾观光《读〈周髀算经〉书后》的意见，认为“由于用平面图形来表示球面有许多困难。《周髀》七衡图上，外衡半径大于中衡半径，七衡圆周上每度的长不能相等，计算太阳在中衡、外衡去极度数时，一律用内衡周上每度的长作单位，是牵就平面图形的辨法，都是出于不得已。……《周髀算经》中的各项数据也是绘平图时的“借象”，而不是实际测量所得”。 [16]此说当然可备为一解，但《周髀算经》构造的宇宙模型基本上是平面的，所谓用平面图形表示球面的困难，本质上是不存在的。
　　不管怎样，在牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法理解上的空白不能不引发人们的思考，认为它与《周髀算经》整个的数理体系一致、抑或矛盾对于我们正确地理解这部著作，客观地给予其评价都有帮助。
　　按照《周髀算经》原文不能构造出与之叙述相符的宇宙模型，观测璇玑径长方法中的矛盾以及牵牛、娄与角、东井去极度的计算方法与璇玑四游的矛盾——《周髀算经》在其内容自洽性上出现的这种种问题，使我们对这部著作中表现出的演绎体系 [17]是否自洽产生了怀疑。与古希腊的同行相比，《周髀算经》在前后文依据原理的一致上、在演绎体系的整体构建上，都暴露出一些不可忽略的问题。至少，《周髀算经》在构造公理化体系方面不是完全成功的。或者据此我们可以猜测，《周髀》非一时一人所作。这也许可以解释为什么在其中包含了这样多的矛盾与冲突。

　　尽管从整体上来看，《周髀算经》构造的不是一个成功的公理化体系，但从局部上看，《周髀算经》又严格地遵循逻辑规则。数据关系的严密，数值的精确，让人惊叹！
　　《周髀》卷下“冬至昼极短，日出辰而入申。阳照三，不覆九；……夏至昼极长，日出寅而入戌，阳照九，不覆三。” 唐如川根据这段记载，运用几何学方法，通过已有（原文给出的“实测” [18]）数据，证算了日照十六万七千里的来源。 [19]反映了我国古代高度的几何学水平。
　　曲安京认为如果假定盖天说的宇宙直径d = 810 千里，那么在盖天说的宇宙框架下，仅从这一前提出发，《周髀算经》中宇宙模型的所有数据都可以推导出来，并且在取值精度标准为千里的条件下，全部数据的导出，都将是唯一的选择。 [20]
　　曲安京文中还继续论述《周髀算经》中之盖天说的宇宙结构是一个常数系统。其中，定义常数是周天度数s = 365.25度，基本常数是宇宙直径d = 810 千里，其他数据皆为导出常数。这样的常数系统其构造思想竟然与现代数理科学的研究方法非常相似！ [21]
　　也许从公理化体系的角度来看，《周髀算经》做的并不十分成功，特别是其构造的几何模型与代数系统不能很好地融合，测量所依据的天文学原理也模糊不清，甚至屡屡发生冲突。但就其构造出的常数系统而言，又是极其成功的。其中所体现思想的先进性不容抹杀。

　　有学者认为《周髀算经》中商高与周公的问答“道出了处理一切实际测量问题的一般的数学方法”，[22]并且程贞一、李国伟、李继闵等学者都对商高已经证明了勾股定理持肯定态度，[23]但是对照西方古典天文学——以发达的几何学方法描述和推算各种天象，《周髀算经》所构造的宇宙模型——不管是双重球冠模型还是中部柱形高耸的宇宙模型——虽然从一定意义上也能很好地解释天象，但没有与其代数系统很好地结合，而且过于粗糙、不够清楚。我们应当看到，受古代中国天文学代数方法传统的影响，《周髀算经》在几何学的测量原理方面没有西方那么严格，其中仍然反映了我国古代天文学“代数”强而“几何”弱的特点。例如应用“日影千里差一寸”求表到日的水平距离时，就忽略了这段长度中包括的表影的长度。由此可以明显感受到中国古代天文学家的主要兴趣在于抽取行星运动的代数特征，即周期大小建立天文学理论。虽然从天文观察和计算来说中国古代可能和西方一样准确，甚至更为准确，但由于一直没有与几何学很好地结合，中国古代天文学理论只好长期停滞在历法算术和混沌的原始宇宙模型之中。


[参考文献]
[1][17] 江晓原 《周髀算经――中国古代唯一的公理化尝试》　自然辩证法通讯18卷3期（1996）P43~P48
[2][20][21] 曲安京 《周髀算经的盖天说：别无选择的宇宙结构》　　自然辩证法研究Vol.13, No.8, 1997 P37~ P40
[3] [4] 李约瑟 中国科学技术史 第四卷天学 第一分册 北京：科学出版社（1975）
[5][6] 钱宝琮 《周髀算经考》 钱宝琮科学史论文选集 北京：科学出版社 （1983）
[7][8] 江晓原 《周髀算经盖天宇宙结构考》　自然科学史研究15卷3期（1996）P248~P253
[9] 陈遵妫 中国天文学史 [第一册] 上海人民出版社 （1980）
[10] 《辞海》 语词分册 上海辞书出版社（1977） P755
[11] 《周髀》原文为：……正极之所游，冬至日加酉之时，立八尺表，以绳系表颠，希望北极中大星，引绳致地而识之。又到旦，明日加卯之时，复引绳希望之首，及绳致地而识，其两端相去二尺三寸，故东西极二万三千里。其两端相去，正东西。中折之以指表，正南北。加此时者，皆以漏揆度之。此东西南北之时。……
[12] 《周髀》（见《算经十书》郭书春、刘钝校点沈阳：辽宁教育出版社1998年12月第一版）中该句为“欲知北极枢、旋周四极”
[13][15]江晓原、谢筠 周髀算经译注 沈阳：辽宁教育出版社(1995)
[14][16]钱宝琮 《盖天说源流考》 钱宝琮科学史论文选集 北京：科学出版社（1983）
[18] 《周髀》中的数据是否出自实测还有争议。
[19] 唐如川《对陈遵妫先生<中国古代天文学简史>中关于盖天说的几个问题的商榷》，天文学报 第5卷第2期（1957）P292~P300
[22] 曲安京 《周髀算经》新议 陕西人民出版社（2002）
[23] 转引自曲安京 《周髀算经》新议 陕西人民出版社（2002）
详见Cheng-YihChen（程贞一）:“A Comparative Study of Early Chinese and Greek Work on the Concept of Limit”;李国伟：《论周髀算经‘商高曰数之法出于圆方’章》；李继闵：《商高定理辨证》


Zhou Bi Suan Jing Coherence Analysis

Abstract: There are three points that baffle the coherence of Zhou Bi Suan Jing (ZBSJ). First, a universe model can't be constructed which is consistent with the text of ZBSJ. Second, the paradox in the method of measuring semi-diameter of Xuan-ji. Third, the contradiction between the calculating method to the polar distance of Dongjing, Lou, Jiao, as well as Qianniu and astronomical foundation of the movement of Xuanji. Maybe according above all, we can surmise that ZBSJ is not written by one person , or in one period. ZBSJ embodies the characteristics of astronomy of ancient China , which is strong algebra but weak geometry,.
Key word: Zhou Bi Suan Jing , Universe model , Coherence

林莽中（益东门人）

       是好资料啊。