行星轨道闭合的奥秘
本帖系轉帖，原帖作者：今日头条众所周知，根据牛顿引力定律，行星的运动轨道是个闭合的椭圆。但你可曾想过，行星轨道究竟为什么是闭合的？
撰文 徐一鸿（A. Zee）
翻译 高苹（哈佛大学物理学系）
编辑 韩琨 丁家琦
牛顿力学中的惊喜
物理系的大学本科生都会修一门牛顿力学的课，课上会学习行星是如何围绕太阳运动的（为明确起见，我们在这里以水星为例，虽然我们这儿的讨论可以应用到其他所有的行星）。由于太阳的质量比行星巨大很多，不妨可以视它在空间上为固定不动的。另外，我们也可以忽略其他行星（例如火星和木星）和各种卫星对水星运动的影响，而仍然得出不错的近似结果。这样，我们就只需要处理一个基本的两体问题，两体即太阳和水星，皆被视为点，并以正比于1/r2（r为水星和太阳的距离）的牛顿引力相互吸引。这就是著名的平方反比律（inverse square law），表示引力随着水星和太阳的距离的平方衰减。
然后，本科生们就可以开心地将这个公式代入到牛顿运动定律中，去求解水星围绕太阳的轨道。众所周知，这个轨道是一个（近乎圆形的）椭圆。
这个结论中蕴含着一个巨大的惊喜，但这个惊喜却几乎从未在任何一门本科生的课程里强调过。这个惊喜就是：轨道是闭合的——也就是说，它是个完整的椭圆，转一圈以后还会回到原来的位置。
初学者往往视其为理所当然，而并没有意识到闭合的轨道简直是一个奇迹般的现象，需要解释清楚为何如此。
我们不妨这样思考：为了计算出水星的运行轨道，学生需要从牛顿定律中提取出关于r和θ（θ表示水星围绕太阳转动的角度，见图1）随时间而变化的两个方程式。在一个周期里，r从最小值（此时水星离太阳最近，我们称这个点为近日点，the perihelion of the orbit）到最大值，再返回到最小值（即水星再次回到近日点），与此同时，θ亦随着时间而改变。让我们设定水星在近日点时θ=0，然后，随着水星环绕太阳运动，θ稳定增加，最后到达 2π（2π是角度的弧度制表述，即360°），整个过程周而复始。
图1. r代表水星到太阳的距离，θ代表水星围绕太阳转动的角度。
但是为什么当r回到最小值的时候，θ恰好到达360°？这多么令人惊奇啊！
如果θ在r回到最小值之前或之后到达360°，轨道就不会闭合，这种运动即被称为进动（precession，见图2）。想象有两匹马同时出发，沿着一个椭圆轨道奔跑，在跑完一圈之后，它们一定有快有慢，是没有任何理由会在同一时刻回到起点的。
图2. 水星进动示意图
值得注意的是，只有相互作用力是平方反比的时候，轨道才是闭合的。（事实上，水星与太阳之间的实际相互作用力就不是平方反比：在爱因斯坦引力理论中，相互作用力正是牛顿引力加上一个小修正；而实际的行星轨道也并不闭合：水星近日点的进动恰好成为了爱因斯坦理论的三大证据之一。我们稍后还会再回到这一点。）
现在，让我们先神游一下，回到理论物理界早期英雄辈出的年代。在我的领域中，那些绝顶聪明的开创者先辈们，的确也曾对“行星轨道为什么是闭合的”这个明显的奇迹感到疑惑。
让我们一起回想在物理中的很多守恒量——即不随着时间而改变的量，比如说总能量和角动量（angular momentum）。水星围绕太阳运动的角动量
这里的r（上标箭头）代表从太阳指向水星的位置矢量，p（上标箭头）代表水星的动量矢量。（如果你不知道这个角动量的表达式，也没关系。简言之，它只是表明角动量L（上标箭头）同时垂直于r（上标箭头）和p（上标箭头））在我们的例子里，当水星沿着轨道运动时，它的位置r（上标箭头）显然是随之改变的，而它的动量p（上标箭头）也会随着速度升降而变化，但角动量守恒表明，由r（上标箭头）和p（上标箭头）所组成的这个整体数学构造（mathematical construct）L（上标箭头）的量是不会改变的。
一个重要的结论是：由于r（上标箭头）和p（上标箭头）皆垂直于L（上标箭头），L（上标箭头）又为固定的守恒量，则该行星运动须完全处在一个垂直于这个守恒矢量的平面上。（在图1中，L（上标箭头）垂直于屏幕所在的平面，而轨道就保持在这个平面中。）
另一个出乎物理学家意料的守恒矢量
如果力是球状对称的，也就是说，如果作用于水星的引力都是指向太阳的，那么角动量守恒就总成立。皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（Pierre-Simon, marquis de Laplace，1749-1827）意识到，如果力正如牛顿（Newton，1642-1726/27）所言满足平方反比律，那么就存在另一个守恒的矢量——这个矢量现今即称为拉普拉斯-龙格-楞次（Laplace-Runge-Lenz）矢量。
重点是：这个守恒（且因而是固定的）拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）指向近日点，因此近日点的位置如同板上钉钉一般，是不会改变的。因此L（花体L，上标箭头）守恒就意味着轨道闭合。让我再次强调，L（花体L，上标箭头）矢量只有在平方反比律时才是守恒的，而角动量L（上标箭头）只要是作用力球对称的情况下便总是守恒的。
史海拾遗
物理学的历史，往往比科普书和教科书中所描绘的要曲折得多。尽管拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）的发现通常归功于拉普拉斯，但这段发现史尤其复杂。雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli，1654/55-1705）的学生，雅各布·赫尔曼（Jakob Hermann，1678-1733），现今被认为是第一个率先证明L（花体L，上标箭头）矢量守恒的人。1710年，雅各布的弟弟约翰·伯努利（Johann Bernoulli，1667-1748）把赫尔曼的工作成果写成了一个更现代的形式。之后，拉普拉斯又独立发现了L（花体L，上标箭头）。约西亚·威拉德·吉布斯（Josiah Willard Gibbs，1839-1903）利用矢量分析，将它表达为一个矢量。卡尔·龙格（Carl Runge，1856-1927）再将吉布斯的工作作为一个案例写在了他关于矢量的教科书中；这随即又被威廉·楞次（Wilhelm Lenz，1888-1957）引用在一篇他早期有关氢原子的论文中。物理量被命名的过程，有时是相当奇特的。
顺带一提，赫尔曼是世上最伟大之一的数学家和物理学家莱昂哈德·欧拉（Leonhard Euler）的母亲的堂/表兄弟。基因确实扮演了一个重要角色，这正和某些美国极左自由派所声称的正好相反。
图3. 雅各布·赫尔曼（左图）；皮埃尔-西蒙·拉普拉斯侯爵（右图）
爱因斯坦的心悸
想象一下我看到这一结果时有多么喜悦……方程式正确地给出了水星近日点的进动。我接连好几天都欣喜若狂。
——爱因斯坦写给保罗·埃伦费斯特（Paul Ehrenfest，1880-1933）的信，1916年1月17日
在我们回到爱因斯坦（Einstein，1879-1955）之前，先做个小结。如果水星和太阳之间的力是球对称的，则角动量L（上标箭头）矢量守恒；但如果这个力同时也满足平方反比律，则拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）亦守恒。在我们的例子里，角动量L（上标箭头）守恒意味着水星轨道总存在于一个平面上，拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）守恒则进一步说明了轨道是闭合的。
牛顿之后的两个世纪里，由于如拉格朗日、拉普拉斯、贝塞尔（Bessel）和勒维耶（Le Verrier，1811-1877）这些伟人的努力，行星轨道被计算到令人惊叹的精度。根据当时天文学家的观测，水星近日点每世纪都提前了（大致如图2）大约5600’’（角秒，seconds of arc ）。在所有已知的效应（比如木星的牵引作用贡献了153’’）皆被扣除后，仍有一个恼人的每世纪43’’的误差。此前，天王星也出现过相似的误差，勒维耶在此基础上成功地预言了之前未知的海王星的存在。鉴于水星的轨道偏差，天文学家预言有另一颗叫做祝融星（Vulcan）的行星存在于太阳和水星的轨道之间，但它并未被发现。
接着，爱因斯坦就提出了他的弯曲时空理论（curved spacetime），而且算出了每世纪43’’的误差。太神奇了！这依然令我难以置信：这块笨重的大岩石自己居然会知道，每次当它围绕太阳旋转完一圈后，都要再往前精确地挪移，补全由时空曲率决定的毫厘之差。
我想请你暂停思绪，并在脑海中描绘一下爱因斯坦预言的近日点的提前量（perihelion advance）有多么地小。读者想必都知道，两条线相互垂直时会形成90度的直角，把这个角度在你脑中分成90份，便可想象1度有多小。请把这个角分成60份，即可得到一角分（one minute of arc）。而在一百年内，近日点只提前了43/60角分，也就是大约2/3角分。请想象一下这是多么微小的效应！
随后，爱因斯坦告诉他的朋友阿德里安·福克（Adriaan Fokker，1887-1972），当时他算出每世纪43’’误差时，感到一阵兴奋的心悸。他也给他的朋友阿诺德·索末菲（Arnold Sommerfeld，1868-1951）写信说道：“天文学家们吹毛求疵的精确度竟对我们有这么大的帮助，而我却常常私下嘲笑他们。”
我们不仅应当对爱因斯坦致敬，也该对始于第谷·布拉赫（Tycho Brahe，1546-1601）的所有天体力学家们，以及各个古代文明的所有天文学家们致敬。因他们异常耐心的努力，使得我们这些在太阳系第三颗行星上的栖居者，能够以此毫厘之微洞悉天体的运动。
最近，我的一个朋友在晚餐中和我谈到：任何一个读过关于爱因斯坦的书的人都知道如何计算每世纪43’’的相对论效应，但是有多少物理学家能够计算每世纪5600’’的总体误差？哎哟，说得好！这个观点真是犀利！时至今日，在计算行星的静止近日点时，除了专于天体力学的物理学家，几乎没人能够计算大的牛顿力学修正（the large Newtonian correction），而许多优秀的本科生却能计算出微小的爱因斯坦修正（the tiny Einsteinian correction）。
注释
可以肯定的是，教科书和我的教授都没有向我提及这一点。
部分原因是，早在上大学本科课程之前，在更基础的课程里，学生们都已经被告知轨道是一个圆了。在这种情况下，轨道是否闭合根本就不是一个可以成立的议题。
对于那些知道一点儿微积分的读者，另一个同等的思考角度是：当r改变时，θ如何改变，即找到导数dθ/dr。把它从的最小值积分到最大值然后又回到最小值，我们就得到总的变化。轨道闭合当且仅当这个变化等于2π（也就是360°）。
参看A. Zee，Einstein Gravity in a Nutshell，Chapter I.1。我之后都简称这本书为GNut。
如今，计算水星近日点的进动不再是件难事。例如参看A. Zee，GNut，371页。
一些读者可能知道这是两个矢量的叉积。
这里我们并不关心其具体的形式。如果读者好奇，拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）的表达式为：
这里m代表行星质量，κ代表牛顿引力常数G乘以太阳质量再乘以m。
熟悉矢量的读者，根据上一条尾注可以容易地看出这一点：在近日点处，p（上标箭头）垂直于r（上标箭头），因而拉普拉斯-龙格-楞次矢量L（花体L，上标箭头）指向r（上标箭头）的方向。
计算拉普拉斯-龙格-楞次矢量的时间导数，你可以很容易地验证这一点。例如参见GNut，794页。
有些读者可能会好奇，为什么在所有行星中，水星在物理学上扮演了如此重要的角色。原因是：水星作为最内层的行星，运动速度最快，在88个地球日以内就能完成一个轨道周期。这颗行星以希腊罗马神中被尊崇为信使、旅行者以及商人的保护神墨丘利（Mercury）命名，因此速度的概念也与它相关。关于这一点，我不得不谈及各种符号之间的文化关联。当今大部分美国人都知道墨丘利是鲜花快递服务领军公司FTD（Florists’ Transworld Delivery）的标志；液态元素汞（即中文的水银）也被命名为Mercury，因为当它被倒出来时，汞液滴会滚到各个角落；最后，注意到英文字的merchant（商人）和commerce（商业）也可能和Mercury相关。
你是否曾经好奇过用于测量角度和时间的术语英文second（秒）和2nd（第二，意味着1st第一之后的东西）的英文记号有什么关系？事实上，前者是对包含后者的一个词组的滥用。托勒密（Ptolemy）在绘制天图和地图时提出角度的细分，他的细分法在拉丁语中被分称为“第一细分”（partes minutae primae）和“第二细分”（partes minutae secundae）。“第二细分”中的secondae衍生成了“秒”（second）。
这个巴比伦系统（Babylonian system）是以60为基础来计算时间和角度的巴比伦系统，也被其它古代文明所使用。例如，中国计算人的寿命就以60年为一个周期（＝5×12年）。
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